一方、真の幾何学的特異点が存在することになる：
等々……
……ついでに言えば、折り目は表面上の特別な領域であり、線曲率を含む。左では負、右では正である。意図的に、これら二つの表面は球冠で作られている。最終的な物体は球の位相を持つ。したがって、その全曲率は4πに等しい。左の物体が（同じ半径の球から出発して）球の四分の三を二つ使って作られたとしよう。これらの構成要素はそれぞれ3πの曲率に対応する。合計6π。したがって、折り目がどれだけの（負の）曲率を含むかは直ちに分かる：−2π。それは円形の折り目に沿って一様に分布している。したがって、三角形ABCの角の和を計算できる。その面積を測ることによって、まずそれが含む曲率（角度的）の量が分かる。それは：
弧mnに含まれる曲率の量を差し引かなければならない。それは：
レンズもまた球の位相を持つ。したがって、折り目は2πに等しい正の線曲率を含む。
……三本の測地線からなる奇妙な三角形ABCの角の和も計算できる。測地線は折り目を軽々と越えていく。あなたはただセロハンテープで実験すればよい。
弧mnは線曲率を含む：上に示したレンズの一種が、同一の球の四分の一を二つ使って作られたとしよう。それぞれはπに等しい曲率を含む。したがって、表面（折り目を除く）には曲率2πが含まれる。
……三角形ABCと弧・折り目に含まれる角度的曲率を計算に入れることで、ユークリッド的な和πからの（正の）ずれが分かる。
表面について、これらの曲率の問題をかなり容易に操れることが分かる。
……表面は特異点や折り目を持ちうる。その場合、それらは座標の選択に由来するのではなく、真に幾何学的で内在的な特異点である。
……ついでに言えば、この線曲率は表面の一部に分配されうる。たとえば、左の図では次が得られる：
……これは、円錐の頂点に集中した曲率が球冠（鈍らせた円錐）に分配された、上に示したのと同様の手順である。上の表面を構成する二つの球冠が、たとえばそれぞれ球の三分の二を表すとすれば、曲率は
灰色の表面は、一様に分布した負の曲率Cを含み、次のようになる：
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