| 10 |
空間
の表現。
...円筒が可展面であることはすでに見た。今度は紙を一枚取ってほしい。それは平らな、ユークリッド的な面である。その測地線は直線である。この紙の上にいくつか直線を引いてから、それをくしゃくしゃに丸めてみよ。
...もしこのくしゃくしゃにした平面を剛体化できたなら、この操作がその測地線の分布を少しも変えていないことに気づくだろう。測地線はセロハンテープで再びなぞることができる。君はただ、この平面の三次元埋め込み空間における表現の仕方で遊んだだけなのである。
もっと簡単な方法は、一枚の鉄板を...波板に変形することである：
測地線：不変。
...幾何学的対象は、われわれがそれをどう表象するかとは無関係に、その表現空間とは無関係に存在する。
...われわれは「四次元超曲面」、すなわち時空の中に住んでいることになっている。一般相対性理論とは、場の方程式の解としてその幾何学を構築しようと試み、次いでその超曲面の測地線を分析することによってこの幾何学を「読み取る」ことにある。その際もはや表現空間の問題ではないことは明らかである。そのためには五次元での視覚を備えていなければならないが、われわれはそれを持っていない。
...実際には、われわれはユークリッド的で射影的な空間の座標を用いる。質量を持つ物体の近傍およびその内部の時空を記述するのに適した幾何学的解を探していると想像してほしい。われわれはこの系が球対称性を持つと仮定する。さらにこの系が定常的（あるいは準定常的）であると仮定する。
...そこでわれわれは球座標（r、q、j）を用いる。二次元では二つだけを用い、対称性は円対称となる。そこで平面の極座標系を用いる：
...この鈍った物体のモデルは、一般相対性理論に実際に存在する定常解の二次元的な教育的イメージであり、それは1917年にオーストリア人シュヴァルツシルトによって「アインシュタイン方程式」の特殊解として考案された：
S = c T
すでに上で示したものである。この解は知的で巧妙である。計算の面では、構築するのは簡単ではない。この但し書きは一つの神話を払拭するためである。すなわち、無知な者たちに囲まれた同時代の世界に孤立した天才アインシュタインという神話である。
...この解から、球対称性を持つ質量の周囲に、平面内に位置する平面的測地線が存在することが示され、その形 r = f (q) を計算することができる。これらの軌道（少なくとも、われわれの心的なユークリッド表現空間への射影）は「準ケプラー的」であり、ケプラーの法則は、この幾何学を生み出す質量（ニュートン的見方ではこの「力」）が穏やかなままである場合、すなわちこの質量における局所的な曲率が弱いままである場合の近似として現れる。
...この解は一般相対性理論の要の一つであり、われわれが読者に提供するような単純な教育的イメージでは言及できないが、たとえば水星の近日点の前進を予測し計算することを可能にするのはこの解である。アインシュタインはこの効果を説明するためにこの解を用い、すでに知られていたこの効果によって、以後「アインシュタインの理論」と呼ばれるものの栄冠をすべて手にした。なぜシュヴァルツシルト自身が自分の発見を活用しなかったのか。それは彼がどうしても従軍して塹壕へ出発することにこだわり、そこで毒ガスを浴び、まもなく死去したからである。
...なお、この有名なアインシュタイン方程式が本当に彼のものかどうかはあまり確かではない。どうやらそれは大数学者ヒルベルトによって示唆されたらしい。アインシュタインはまた、後にロシア人フリードマンが発見した、宇宙の進化を記述することを可能にする場の方程式の非定常解の発見も熱狂的には受け入れなかった。1921年の若い数学者カラツァの仕事も同様である。その仕事は再発見され、今では超弦理論の出発点となっている。これらのことは科学的にはほとんど重要でなく、アインシュタインの価値を少しも損なうものではないが、スポーツ精神が必ずしも個人の科学的価値と結びつくわけではないことを示している。
シュヴァルツシルトが展開した解では、技術的には空間は二つの部分に分かれる。天体の内部では物質密度 r は一定と仮定される。それに依存するエネルギー・運動量テンソル T もまた非ゼロである。外部では r と T はゼロである。
...この複合的な幾何学は、したがって、右辺のあるなしの二つの異なる方程式の解である。物質密度は天体の表面で不連続性を示す（「内部」シュヴァルツシルト解と「外部」シュヴァルツシルト解の組の場合も同様である。この場合、天体は一定密度の球であり、それが天体の表面で急激にゼロに落ちる）。しかし測地線の連続性は、上でイメージを示した数学的条件（円錐台と球冠の接続）を通じてなお保証されうる。
...質量が大きくなり曲率の効果が顕著になると、軌道はケプラー的モデルからより明確に逸脱する。たとえば中性子星の近傍においてそうである。以下はそのような天体の周りの近日点の前進である（太陽の周りでは、水星の楕円軌道は一世紀あたり0.15度前進する）。
...これらの軌道を計算することを可能にする公式とプログラムも、実のところ何ら複雑ではない。好奇心旺盛な人のために、いつの日かこのサイトで示すつもりである。
...現在われわれは、後の議論に備えていくつかの幾何学的な目印を打ち立てつつ、示したモデルはあくまで指標的な性格のものであることを思い起こさせておく。.
2004年7月1日以降のこのページの閲覧回数：