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座標の選択によって生じうる問題。
…ここでは、幾何学的な解に座標系を押し当て、その解をこの特定の座標系で表現することに伴う危険について述べよう。ただし、その座標系が適切であることが前提である。上の解を見るとき、この幾何学が場の方程式の解であると仮定すれば、座標系(r, q)の使用は、もちろん二次元においてではあるが、位相が「局所的に球状的」であることを前提としていた。つまり、この仮説的な幾何学的中心を中心とするあらゆる円の内部には、その円が点になるまで、常により小さな円を内接させることができたのである。数学的に言えば、半径rのあらゆる円は「収縮可能なセル」を画定する。
…三次元では、局所的に、宇宙は「マトリョーシカ人形」のようになるだろう。ある球の内部には、常により小さな面積の球を内接させることができる。三次元では、これは局所的に球状的な位相である。
そうでないこともありうるか。
ありうる。表面の位相が「局所的にトーラス的」であれば。二次元では次のようになる。
…注記：上の図の対象は二次元の表面である。というのも、その上の点の位置を特定するには二つのパラメータが必要だからである。この意味で、曲線は「一次元の表面」である。円について語るとき、幾何学者は「球S1」、すなわち「一次元の球」という表現を用いるだろう。曲線という一次元の対象上の点を特定するには、唯一つのパラメータ、すなわち横座標しか必要ないからである。球S2、すなわち「普通の」球と、円、すなわち球S1には共通点がある。それらは「閉じた」対象である（この概念は当時、位相幾何学から借用された）。
…空間内の点の位置を定義するのに用いられるこの量の数こそが、まさにその空間の次元の定義である。したがって、時空間(x,y,z,t)は四次元の超曲面と見なされる。そこに「事象」と呼ばれる点を定義するには四つの量が必要だからである。
次元の概念に関するこの注記はここまで。
…一つのことを心に留めておかねばならない。場の方程式の特定の解を構築する幾何学者は盲目であり、彼が得る幾何学的対象を見ることはできない。彼はそれを、その測地線を通じて、特定の座標系でそれらを記述することによって探査することしかできない。先ほどの極座標は、表面と、同軸の円筒の族との交差に対応していた。
そして、それらの共通軸を通る平面の族との交差にも対応していた。
三次元では、それは空間と同心球の族との交差ということになる。
…しかし、この種の管状の橋を示す表面を、同心円筒の族で切断したらどうなるか。円筒が表面を切断している間はよい。しかし、それらの周長が「のど円」のそれより小さくなると、それらの断面は…虚曲線になる。のど円の周長をpとしよう。それをp = 2 p Rg となるような長さRgと結びつける。
…r < Rg であるような族のあらゆる円筒が表面を切断しないことは明らかである。幾何学者がr < Rg に対する表面の測地線の様子に関心を持つとき、彼は虚の幾何学的対象を見出すだろう。
…例えばx = xoに対応する、二点と直線との交点を求めるとき、直線が実際に円を切断する場合には、yについて二つの実数値が見出される。そうでなければ、それらの値は純虚数である。
…もしある人が、暗闇の中で、その形を知覚できないまま表面を探査し、その位相が局所的にトーラス的であることを知らないならば、彼は極度に当惑するかもしれない。
表面は二つの曲線の族を用いて特定できる。
…各曲線は一つのパラメータによって定義される。これら二つの曲線の交点にある点Mは、Mを通る二つの曲線の値という二つの量(a,b)によってよく定義される。
…第一の族は、表面の測地線ではない円（のど円を除く）から成り、第二の族は、これらの円に直交する、双曲線的な様子の測地線から成る。双曲線的な曲線は、一方の葉から他方の葉へ移ることを可能にする、落ち込むような軌道を思わせる。
三次元の、局所的に超トーラス的な空間についても、明らかに同じ状況がありうる。円は球の族に置き換えられ、その中には最小面積ののど球が見出されるだろう。この球の族に直交する軌道を構成する線は、この超トーラス的なトンネルを通り抜け、別の三次元の葉（または層）に再び現れることを可能にする、落ち込むような軌道を構成する。
…この注記は無駄ではない。ブラックホールのモデルを検討するときに、これに戻る機会があるだろう。実際、このモデルでは、「事象の地平面の球の内部」に侵入すると、粒子の質量は…純虚数になる（これに限らず、他にも多くのことが起こる）。そのとき、我々はまだ時空間の超曲面の中にいるのかと問う権利がある。座標(t , r , q , j)の特定の選択は、局所的に超球状的な位相（事象の地平面の球、シュヴァルツシルト球の半径より小さな値を取りうる動径座標rの存在）を意味するが、それは適切なのだろうか。
有名な天体物理学者が数年前に書いていた。
- 我々は今やブラックホールの内部についてもっとずっと多くのことを知っている。
しかしブラックホールは、もし存在するならば、内部を持つのか、それとも局所的に超トーラス的な位相に対応するのか。
…座標系の選択が何を引き起こしうるかが分かる。幾何学的な解は存在する。それは測地線を持つ。しかし我々は、これを我々の心的な表象空間、すなわち相対論的ですらないユークリッド的時空間に投影することによってしか、これを「読む」ことができない。座標系を選ぶとは、読み取りの体系、投影の体系を選ぶことである。
…プラトンの登場人物たちのように、我々は「ユークリッド的スクリーン」上の影を観察することしかできない。なおさら、「投影体系」の正しい対物レンズを選ばねばならない。
…
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