幾何学的な文脈。
…球面は2次元の空間である。その上の点を特定するには2つのパラメータが必要だ。これは位相を持つ空間である（位相という言葉の意味の詳細については、私のバンド・デシネ『トポロジコン』、Belin社刊を参照されたい）。球面はトーラスと同じ位相、同じ「形」を持たない。球面は測地線を持つ。その上に2点M1とM2を結ぶ経路を描き、移動した長さsを測ることができる。この長さは、点を特定するために選んだ座標とは独立であり、表面を覆う測地曲線も同様である。
…この球面の中心をそのすべての点に結びつけよう。我々は無限の半直線を得る。これらは点と同じ特定システム、たとえば2つの角度qとjによって特定できる。
上は我々の球面である。
ベクトル半径の集合を示すために穴を開けた。
今度は球面を取り除き、ベクトル半径だけを残そう。
…これらの半直線は切り詰められているが、実際には無限である。それぞれは2つのパラメータ、たとえば2つの角度の与え方によってのみ定義される。計量構造は消え去った。測地線も、長さも、もうない。何が残るのか？
- すべての半直線は近傍を持つ。隣接する半直線を選んで、これを一種の円錐の中に包み込むことができる。この円錐の内部に、その半直線を含むより狭い円錐を描くことができる。これは同心円やマトリョーシカ人形の話だが、半直線の束を伴うものである。しかしここではそれらの円錐の上に測地線を引くのではない。それらの母線のそれぞれは、単に2つのパラメータ、たとえば2つの角度の集合である。
- 微分可能性についての直感的な考え方が区別される。この「テクスチャー」には不連続がない。
測地線や長さなどを持つ平面を取ろう…
…私が選ぶ座標系が何であれ、常に2つの実数(x,y)、(r,q)などで点の位置を特定しなければならない。
これらの実数はR2、つまり(3,8705, -17,56)のような実数の組の集合から取られる。この実数の組の空間から取られたあらゆる点の組は近傍を持つ。これは「連続」である。
これらの「前計量的な」対象は多様体と呼ばれる（数学者は街の人にとって何の喚起力も持たない言葉を選ぶのが得意である）。
…この段階では、n個の実数の集合（n次元空間）を考え、それに自動的に長さや測地線の観念を結びつけない、という一歩を踏み出すことができる。
…これは、点が隣人との接触を保つことだけを制約とされる表面を考えるようなものである。それは無限に弾性で変形可能であろう。慣例として、もし我々が表面をその輪郭（縁であれ見かけの輪郭であれ）によって表すなら、単に輪郭を取り除くことによって多様体のこの「流動的な」概念を想起させよう：
…このイメージはさらに、対象の影を想起させる。そして影には一貫性も形もない。その幾何学はそれが投影される対象に依存する。
また、多様体（英語でmanifold）をその計量なしに、直線の族として思い描くこともできる。
…ここでは平行に見える直線を置いた。これらの直線は…どのようにでも、近接・近傍の関係を保ちながら、そうあるべきであろう。
…最終的に、多様体V2の良いイメージとは、まず茹でてから、互いに対する麺の順序を変えることなく、あらゆる方向に折り曲げたりねじったりできるスパゲッティの束である。
ともあれ、多様体上で2葉の被覆の操作を行うことができ、それに計量を与える。以下のイメージがそれを示唆する：
ここでは同一の計量（ユークリッド的）を備えた2枚の2次元の葉がある。しかし次のようにもできる：
…MとM*を共役点と呼ぶことにする。2つの共役空間が多様体の2葉被覆として構成されていると言うことは、単に2枚の葉FとF*の間に点対点の対応が存在することを意味するが、たとえば対応する点の組(M1,M2)、(M*1, M*2)の間の距離は異なりうる。唯一の制約は、最終的に点の近傍もまた対応し、ある葉のすべての非特異領域に同様に非特異な領域が対応することである。
…先ほどの柔軟な麺の束に戻る。「骨格-多様体」の構造は、2つの幾何学的対象の間の単射写像を構成するためにのみ存在する。上の図は「葉FとF*は互いにどのように配置されているのか？Fが宇宙なら、F*はどこにあるのか？」といった問いを完全に爆発させるためのものである。これらの葉は単に共役であり、点対点の対応を持ち、これらの共役点は同じ座標で記述できる。
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