カル・シュワルツシルト会議第3回レポート
カル・シュワルツシルト会議第3回レポート
ファイアス、フランクフルト、ドイツ
2017年7月24日～28日
2017年8月2日
"シュワルツシルト解の中心特異点が質量逆転という自然過程によって消去される"
"アインシュタイン理論における質点の重力場について"
https://arxiv.org/abs/physics/9905030 arXiv:physics/9905030
"アインシュタイン理論における非圧縮性流体球の重力場について"
arXiv:physics/9912033
"物理学の基礎（第二通信）"
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
シュワルツシルトが与えた形の計量を、場の方程式の解として用い、座標 (t, r, θ, φ) で表すと、まず誤ってコアの球面が円錐の頂点のように単一の点（r = 0）に縮小されているように思える。しかし、これはこの量に「次元を持つ値」という意味を割り当てていることになり、実際にはただの「空間座標」にすぎない。微分幾何学における空間座標とは、特定の点を位置付けるための数値にすぎない。実際の距離、意味を持つ長さは、計量を使って計算されたものだけである。これらの長さは s で表され、座標系をどのように選んでも不変である（同じ経路を異なる座標系で記述した場合）。
解の球対称性により、4つの座標 (t, r, φ) のうち3つを固定し、座標 θ について2π回転させることができる。ヒルベルト表現におけるコアの球面は R = α に対応する。t = 定数、φ = 定数であり、θ について回転させると、その結果は 2πα となり、コアの球面上の大円の周長となる。
これを自らの表現 (t, r, θ, φ) で繰り返すと、コアの球面は ρ = 0 に対応する。θ に関する回転により、再び 2πα の値が得られる。
もっと驚くべきなのは、シュワルツシルト表現においてコアの球面が r = 0 に対応するときにも、やはりこの長さ 2πα が得られることである！これは非常に混乱を招く。なぜなら、「r = 0 の点の周りを回る」という操作が非ゼロの長さを与えるからである。しかし、r は「点」ではないのである。これは微分幾何学と計量による物体表現の特徴的な難解な側面である。
この思考実験を通じて、r を「次元を持つ長さ」として捉えるべきではないことを理解してほしい。まさに、r を「径方向距離」として想像してしまうからこそ、混乱が生じるのだ。
実際には、「次元」という言葉そのものが混乱の原因である。代わりに「我々はこの幾何学的対象の点を、次元という集合を使って位置付ける」と言うのではなく、「我々はこの幾何学的対象の点を、空間座標を使って位置付ける」とすべきである：
(x₀, x₁, x₂, x₃)
しかし、文字 x も誤解を招く可能性がある。r が中心点に至る可変な径方向距離であるという誤った概念を完全に排除するためには、空間座標は中立的なギリシャ文字、たとえば β や ζ で定義すべきである：
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃)
一般論に戻ろう。数学や幾何学において、計量とは何か？
地球は平らではない。球形である。これは地図作成者にとって問題である。大陸を地球儀上で見れば問題ないが、曲がった世界を平らな紙や平面の媒体にどのように地図化するのか？複数の地図が作られ、アトラスとしてまとめられる。隣接する地図は、経線と緯線の対応を調整することでつながる。
より一般的には、このような技術を使って任意の表面を地図化できる。たとえば自動車のボディ。このアトラスの各平面要素は、局所的な計量的記述に対応する。数学者や幾何学者は、この概念を非ユークリッドな要素からなるアトラスにまで拡張した。紙が存在しない世界を想像してみよう。人々が球面の一部のように形づくられた乾いた葉のような素材を使って、重ねて使えるような奇妙な曲がったアトラスを作っているとしよう。このようにすれば、あらゆるものを段階的に地図化できる（平面も含む）。
こうした技術には、地図化される対象の位相に関する制約を課さない。
シュワルツシルト計量で記述される対象を「極座標」を使って形状づけることは、その位相について強い仮定を暗黙のうちに置いている。
以降の議論は、計量解が自身の位相を含んでおり、我々には選択の余地がないということである。従来のアトラスとしての地図のアプローチを完全に捨て、対象がただ計量によって記述され、その計量が解に内在する位相と整合した「適切な座標系」で表現されていると考える。主眼は以下の通りである：
– 単位長さ s はどこでも実数でなければならない。
– そしてその結果として、計量の符号は不変でなければならない。
これらのコメントと提案に基づき、従来のブラックホールモデル、その複数の病理的性質を含むものについて再検討することができる。これは、ヒルベルトがこの幾何学をどのように解釈したかの結果ではないだろうか？「ブラックホール内部」という幻想的な概念を、「クラスカルの解析接続」によってアクセス可能だとするが、マルダセナはその講演で「これは解を時空全体に拡張することを可能にする」と述べている。実際、ブラックホール研究者たちは、研究対象とする物体の位相について先入観を持っている。どうしてか？
位相的に、2次元の表面を考える。閉曲線を描き、その周囲をゼロに縮小できるか試みる。二つの状況がある：
– 周囲がゼロまで縮小できる。
– 最小限の境界に達する。
これは次の図で示される：
もしこの表面に住む2次元住民が、
「円の中心には何があるのですか？」
と尋ねたら、我々は「その質問は意味がない」としか答えられない。なぜなら、これらの円には中心が存在しないからである。
3次元世界に移ると、このような収縮性は、表面積をゼロまで小さくすることで球面を変形できる可能性として現れる：
もしこの操作が成功すれば、その球面には「内部」と「中心」がある。
しかし、3次元空間は必ずしも収縮可能ではない。もし収縮可能でなければ、特定の領域（2次元球面の位相を持つ表面）では、同心球面族（ジャガイモを剥くように）による断層化は最小表面に達する。その後、断層化を続けると、表面は再び増加する。なぜなら、さっき通過した最小表面は実際にはコアの球面だったからである。
これ以上3次元で描くことはできないが、前の2次元図を参照すれば、右側では最小値が赤色のコアの円に対応していることがわかる。この考え方は、3次元超曲面や任意次元の超曲面に拡張できる。
マルダセナが「クラスカルの解析接続によって解を時空全体に拡張することができた」としてジョゼフ・クラスカルを称賛するが、彼は（何千人もの前例があるように）無意識のうちに、話題の4次元超曲面、すなわち「時空」の位相について仮定をしていることに気づいていない。
しかし、この試みは計量の符号を変更し、単位長さが純虚数に変わるという結果をもたらす。これは形式主義が単に「答え」を提供しているにすぎない：
「注意！ あなたは超曲面の外側にいます！」
実際には、存在しない時空領域を探求しようとしているだけである。まるで、トーラスの接平面の性質を研究するために解析接続を構築する幾何学者が、その軸の近くで行うように、アリスの不思議の国にいる狂った機械技師が、車輪の軸の近くにあるタイヤの内側チューブに部品を接着しようとするようなものである。もし私が正しいなら、何十年にもわたり、存在しない対象を記述するために、膨大な紙、インク、そして知性（量子的な知性を含む）が消費されてきた。その結果として生じる「中心特異点」の性質など、すべてが無意味である。なぜこのようなことが1世紀も見過ごされたのか？科学史家たちが答えを提供してくれるだろう。ヒルベルトが虚時間の幻想を持っていたため、彼は空間的符号（– + + +）を伝えたのかもしれない。これは、彼以降誰も単位長さの二乗の符号が変わることに気を留めなかったことを意味するかもしれない。しかし、「これは単なる『規約』の問題だ」と言うのは誤りである。
一方で、シュワルツシルト（およびアインシュタイン）は、+ – – – の時間的符号を選択していた。シュワルツシルトの論文から明らかである：
逆に、角度に関する項の符号を固定することで、ヒルベルトは暗黙のうちに符号を（– + + +）に固定している：
これらの問題を探究したい物理学者、学生、エンジニアは、以下のリンクから、このページで引用された各論文の英語訳（当初ドイツ語で発表された歴史的論文も含む）をダウンロードできる。現代の「ブラックホール専門家」たちはおそらく一度も読んだことがないだろう。彼らは観測のない宇宙物理学を構築しており、厳密さのない数学から生まれている。
• 歴史的論文：
シュワルツシルト, K. (1916年1月13日)。
『Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.)』 1916年, 189–196。英訳タイトル：
Antoci, S. ; Loinger, A. (1999年5月12日)。「アインシュタイン理論における点粒子の重力場について」。
『Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.)』 1916年, 424–434。英訳タイトル：
Antoci, S. (1999年5月12日)。「アインシュタイン理論における非圧縮流体の球体の重力場について」。
『Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik』 46 : 1296。英訳タイトル：
Antoci, S. (2003)。「付録A：シュワルツシルトの『質量点』論文に関するフランクのレビュー」『デイヴィッド・ヒルベルトとシュワルツシルト解の起源』に収録。
『Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics』 ブレーメン：Wilfried Schröder, Science Edition。
『Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A』 19 (I) : 197–215。1916年5月27日、H. A. ローレンツ教授がKNAW会議で報告。再録（2002年）：
『General Relativity and Gravitation』 34 (9) : 1545–1563。doi:10.1023/A:102074732。
『Annalen der Physik』 54 (18) : 117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。英訳タイトル：
Neugebauer, G. ; Petroff, D. (2012年3月)。
『General Relativity and Gravitation』 44 (3) : 779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
ヒルベルト, D. (1916年12月23日)。
『Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)』 53–76。英訳タイトル：
Renn, J. (2007)。
『The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics』 Springer, 1017–1038。
• さらに深く：
Abrams, L. S. (1979年11月)。「点質量に対する代替時空」。
『Physical Review D』 20 (10) : 2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 訂正：
Abrams, L. S. (1980年4月)。「誤植訂正：点質量に対する代替時空」。
『Physical Review D』 21 (8) : 2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
『Canadian Journal of Physics』 67 (9) : 919–926。doi:10.1139/p89-158。
『Astronomische Nachrichten』 322 (2) : 137–142。
『Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics』 ブレーメン：Wilfried Schröder, Science Edition。
『Modern Physics Letters A』 30 (9) : 1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
（YouTubeプレイリスト、英語字幕付き）。
その他参照。
ちょうど、ドイツ・フランクフルトにある権威あるFIAS（フランクフルト先端科学研究所）で開催された第3回カルル・シュワルツシルト・シンポジウム、すなわち重力物理学とゲージ/重力対応の会議から帰ってきました。
私は自分のポスターの内容について非常に迷っていましたが、最終的に『ジャンヌス宇宙モデル』の核となる二つの場の方程式の連立系を提示することに決めました。
これは、会議の中心テーマである「ブラックホールの物理学」にはあまり合致していませんでした。ブラックホールについては後で取り上げたかったのですが、2015年に『Modern Physics Letters A』誌に発表した論文：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
.
Modern Physics Letters A.
30 (9) : 1550051. doi : 10.1142/S0217732315500510.
が、私にとってこれまでに査読付きで発表された最も近いものでした。私のポスターの横には表があり、私はその論文の要点を書き出しました：
これが多くの注目を集めました。参加者たちは写真を撮り、群衆が集まりました。60歳ほどのベテラン研究者が、1916年にシュワルツシルトが得た計量解のすべての特異性が単なる変数変換によって排除できるという主張に、直ちに懐疑的態度を示しました。彼は他の参加者とは異なり名札を付けていなかったため、FIAS（フランクフルト先端科学研究所）のメンバーだろうと推測しました。この変数変換は以下の通りです：
ついに批判者が現れた！明確にするために、私はすぐに計算の詳細を一覧表に書き出し、専門家に渡しました。彼は紙を受け取り、少し離れて椅子に座り、15分間その方程式に集中して読み込みました。
皆が彼の判断を待っていました。やがて彼は私の論文を返し、うなずきで了承しました。顔には深い驚きが浮かんでいました。おそらく彼はこう言っていたでしょう：
「これまでにどこにも見たことがない。当然、このフランス人はどこかで誤りを犯しているだろう。まだ見つけられていないだけだ。後で見つけるだろう。」私はこの問題に彼を引き込ませようと思いました。これは1916年にシュワルツシルトが得た結果の解釈に関する重要な問いを提起するからです（会議の名前もまさに「カルル・シュワルツシルト会議」だったのです！）。私は彼に、ドイツ・プロイセン科学アカデミー『報告』誌に掲載された原論文、すなわち現在「シュワルツシルト外部解」と呼ばれるものを詳細に記したものを読んだか尋ねました：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
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Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英訳タイトル：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] さらに、数週間後に発表された（死の3か月前）、第二の論文「シュワルツシルト内部解」：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英訳タイトル：
Antoci, S. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] 彼は、それらを読んだことがない（！）と認めました。そしてこう言いました：
— ドイツ語は読めますか？
— いいえ、でも英訳版を読みました。1999年の比較的新しい翻訳です。100年前の論文ですが。これらの資料は私のノートパソコンにあります。一緒に読んでもよろしいですか？また、1916年12月にデービッド・ヒルベルトが発表した非常に重要な論文もあります。彼の死後にシュワルツシルトの業績を継承しています。
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英訳タイトル：
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4 : Gravitation in the Twilight of Classical Physics : The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
彼は避けようとした。また、その論文も読んだことがない（！）と述べました。実際、フランクフルトで発見したのは、ブラックホール専門家たちが、彼らの研究の基礎となった原典をまったく知らないということでした。全参加者を前にした講演で、現代ブラックホール理論の代表的人物が次のように述べました（ノートに記録された内容）：
ホアン・マルダセナ — シュワルツシルト解は1世紀以上にわたり私たちを混乱させ、空間と時間に関する考えを洗練させることを強制しました。アインシュタイン理論の理解を深めるきっかけとなりました。実験的にも、いくつかの天体観測を説明できます。その量子的性質は、理論的なパラドックスを生み出し、時空幾何と量子力学の関係をより深く理解するよう私たちを促しました。
実際のところ、これに何の価値があるのでしょうか？
まず「ホーキング放射」の「発見」があります。しかし、これは一般相対性理論と量子力学の統合という考えに基づいています。この二つの理論が結婚したことは決してありません（重力は量子化されず、スピン2の重力子が常に見つかっていない）。現代の理論家たちは、この空想が真実であると信じ込んでいます。ホーキングは、事象の地平線近くの量子現象を援用し、「ブラックホールはエネルギーを失い、放射することができる」と「証明」しました。これにより、ブラックホール情報パラドックスが生じました。つまり、ブラックホールという物体内部ではすべての構造が圧縮され、完全に消滅するとされます。したがって、ブラックホールは「情報破壊装置」なのです。マルダセナはその後、ブラックホール熱力学の進展について述べました。特に、「ブラックホールのエントロピーはその表面積に比例する」と強調しました。
要するに、過去数十年間、理論家たちはこの情報パラドックスを回避する方法に集中してきました。あなたも「火の壁」や他の類似の話題を聞いたことがあるでしょう。マルダセナの最新研究では、新たな「魔法の言葉」が登場します：
量子もつれ。これは量子力学と有名なアインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼン（EPR）パラドックスから生まれた概念で、私は動画で説明しました。この有名な実験では、発生した二つの光子は「もつれている」状態になります。要するに、マルダセナの主張では、「量子もつれ」がすべての答えを提供します。それに、弦理論のほんの少しだけ。
2017年の理論界で最も洗練された発言です。
会議参加者たちは明らかにJANUS動画（参照）に言及していました。ジュリエン・ジェフレイが驚くべき努力をし、英語字幕付きで動画を翻訳しました。会議開催時点で6本の動画がすでに英語化されていました（JANUS 14～19）。そしてここから、英語での正確な翻訳がフランス国外で注目されるために不可欠であることがわかりました。私は拙劣な英語での翻訳はできません。外国人ユーザーはすぐに飛ばすでしょう。ジェフレイは20年間私の研究を追っており、シェイクスピアの言語を完全に習得しています。この非常に繊細な字幕作業（1本あたり2～3日かかる）を担当できる唯一の人でした。1本あたり15,000～20,000文字のテキストで、専門用語が多く、視覚的に整えることと、字幕のタイミングを0.1秒単位で調整する難しさに加え、私の論文や科学漫画へのリンクを表示する地図も作成しなければなりません。
非フランス語話者への影響を目の当たりにしたことで、JANUSシリーズ全動画の英語字幕化が必要であると確信しました。翻訳範囲を広げるために価格を再交渉しましたが、20本以上となると予算は依然として非常に高額です。
インターネットユーザーたちが呼びかけに応じ、支援金を送ってくれました（心から感謝します！）。これらの資金により、私は海外へ旅し国際会議に参加できます（登録料、交通費、宿泊費）だけでなく、この字幕作業も行えます。私は今後も毎月2本の動画を制作し続けます（はい、量子力学に関するJANUS動画も作成します）。私の見解では、これは賢明な投資です。なぜなら、ウェブサイト上の文章はしばしば忘れ去られますが、動画は無期限に残り、現代のコミュニケーション手段として最も優れたものだからです。
2018年春までの予算計画（字幕＋会議参加）：20,000ユーロ。真実を明らかにするには代償が必要です。
インターネットユーザーから送られた資金が、次の会議（シュワルツシルト会議、フランクフルト；次にCOSMO-17、パリなど）への参加を保障するほど十分であれば、字幕作業や今後の会議参加の費用に対応するために、さらなる支援が必要になります。
動画の影響：シュワルツシルト会議での若手研究者の反応。あるイタリア人の若手研究者が、ついにこう言いました：
— あなたのジャンヌス宇宙モデルに関する論文を読みました（彼は内容を理解できる専門知識を持っていました）。ここであなたがどう扱われているかを見ています。どうして、こんな人たちがあなたに対して背を向ける以外に何ができるでしょうか？あなたが提案しているのは、彼らの研究の根幹を破壊することです！
この若者とは連絡を取り合い、現在もつながっています。彼はイタリアで修正ニュートン力学（MOND）に関する研究を行っています。これは最初の種まきです。私が国際会議で積極的に「交流」を図り続けたら、若い世代にも他の多くの出会いが生まれるでしょう。ただし、おそらく私の指摘した「幻想的な業績」によって名声を得た人々の中にはいないでしょう。
将来、ある若者がこう言うかもしれません：
「私はMOND理論を本気で信じていない。でも、このフランス人の考えがどこへ導くのか試してみようか？」これらのつながりや交換は、若手研究者が動画を見て、私の論文や科学漫画に触れられるようになることで、格段に容易になります。
フランクフルトでは、大半の発表が「ブラックホール物理学」、すなわち「もし観測できたら、何が見えるか？」というテーマに集中していました。それに加えて、「ホログラフィック宇宙」という新しいアイデアも登場しました（本当のホログラムとは何かを説明する動画を作らなければならないでしょう）。ある女性は「宇宙弦を恐れる必要はない」と述べました。別の研究者は、宇宙膨張のインフレーション期に小さなブラックホールの対が形成され得ることを示しました。さらに弦理論や「ブレイン衝突」に関する話も加わりました。私が唯一、観測と照合可能な成果を提示している研究者です。
もし宇宙論界を醒まさせ、反応を得たいなら、彼らの愛児であるブラックホールを攻撃しなければなりません。これは以前はまったく想定していなかったことです。しかし、フランクフルト会議の雰囲気が状況を修正するよう促しました。したがって、私の次の動画のタイトルは以下の通りになります：
JANUS 21：ブラックホールは、1916年にカルル・シュワルツシルトが得た解の誤解から生まれたもの。これはパリでの国際会議COSMO-17でも私の発言となります。ブラックホールの代替モデルを提案するわけではありません（まだその段階ではありません）。代わりに、次のように宣言します：
「この『ブラックホール』と呼ばれる物体のモデルは、現時点で整合性がありません。なぜなら、1916年にシュワルツシルトが得た解とは一致しないからです。そして私はそれを証明します。」
ドイツの数学者カルル・シュワルツシルトは、1916年5月11日、43歳でポツダムで亡くなりました。彼の解が発表されてからわずか3か月後のことです。この解は1916年にシュワルツシルトによって得られ、以下の形で発表されました：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
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Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英訳タイトル：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] この最初の論文で、シュワルツシルトは明確に「極座標」としてrを定義しています：
しかし彼は「補助量」Rを導入し、1916年1月にその有名な「外部解」をこれを使って表現しています：
数学の専門家でなくても、シュワルツシルトが選んだ変数r（上記のように定義された）が厳密に正である限り、中間量Rは自由ではなく、下限αを持つことが明らかです：
シュワルツシルトは、1916年5月11日、43歳でポツダムで亡くなりました。最初の発表からわずか数か月後のことです。
1916年12月にゲーテン大学科学アカデミーで発表された報告において、ドイツの偉大な数学者デービッド・ヒルベルト（1916年当時54歳）は、この解の表現方法を無価値と評価し、その結果として特異点（R＝α）が原点r＝0に移動します。
ヒルベルトの報告は1916年12月23日付（シュワルツシルトは5月に死去）。
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英訳タイトル：
Renn, J. (2007).
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The Genesis of General Relativity, Vol.4 : Gravitation in the Twilight of Classical Physics : The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
実際、ヒルベルトはすでに一般相対性理論の研究に積極的に取り組んでいました。彼の論文のタイトルは「物理学の基礎」です。多くの人はアインシュタインが物理学者で、ヒルベルトが純粋な数学者だと思いがちですが、実際にはヒルベルトは科学の技術的側面を好まなかったのです。ある日、病気の同僚数学者フェリックス・クラインの代わりに、工学部学生向けの講義を依頼されました。ヒルベルトは次のように講義を始めた：
— 科学者と工学士の間には敵意があると言われていますが、私は信じません。実際、それはありえないでしょう。なぜなら、両者には何の関係もないからです。
しかし、これは工学部学生だけを狙ったものではありませんでした。彼の有名な発言にもあるように：
— 物理学は、物理学者にとってあまりに難しすぎるようになった。
ヒルベルトの数学的業績は実に大きいですが、この歴史的文書を調べてみると、彼が「高度に数学化された物理学」（本物の数学物理学）の基礎を築こうとしていることがわかります。工学部での冗談と比べると、彼の考えは少しずつ変化したかもしれません。おそらくアインシュタインとの出会いや、当時の著名な物理学者たちとの交流の後です。もちろん、自分の貢献を発表する際には、彼は最初から大規模なビジョンを持っていました。この論文は、すべての物理学（重力と電磁気）に「ラグランジュ的アプローチ」を適用する基盤を築いています。この文章から読み取れるのは、ヒルベルトが当時の「すべての物理学」をこのアプローチに統合しようとしていること。後に「統一場理論」と呼ばれるもので、アインシュタインは生涯を通じてこれを完成させようとして失敗しました。このプロジェクトは失敗しました。なぜなら、4次元では二つの形式を同時に含めることはできないからです。1954年にジャン＝マルク・スリアウが『幾何学と相対性』という優れた著作で明確に説明したように、電磁気学は「カルツァの第五次元」を加えることで、一般相対性理論の中に組み込むことができます。
ヒルベルトが1916年12月23日に22ページの論文を発表したとき、これはシュワルツシルトの論文の即興的な追従ではなく、2015年11月に最初に発表され、その後取り下げられた大規模な報告の第二部です。彼は1年間かけて徐々にさまざまな展開を加え、その後にシュワルツシルトの非線形場方程式解を含めました。
いずれにせよ、ヒルベルトはシュワルツシルトの解を、自身のより広大な研究の中で小さな点として扱っています。
すべては以下の抜粋にかかっています：
ヒルベルトはw₁, w₂, w₃, w₄という4つの座標を導入し、すぐに最初の3つ（空間座標）が極座標を使って次のように表現できることを述べています。彼が質量点周囲の重力場問題を考えるとき、「中心対称性」（zentrischsymmetrisch）を前提としているため、
シュワルツシルトが与えた形の計量を、場の方程式の解として用い、座標 (t, r, θ, φ) で表すと、一見してコの球面が単一の点、つまり円錐の頂点に似た点 r = 0 に縮小しているように思える。しかし、これはこの量に「次元的な長さ」を割り当てていることになり、実際にはただの「空間的マーク」にすぎない。微分幾何学では、空間的マークとは単に特定の点を特定するための数値にすぎない。真正に意味のある距離、すなわち実際の長さを持ち意味を持つのは、計量を使って計算された距離のみである。この長さは s で表され、座標系の選択に関係なく不変である（同じ軌道を異なる座標系が記述する場合）。
解の球対称性により、4つの座標 (t, r, φ) のうち3つを固定し、θ座標周りに2πの回転を行うことができる。ヒルベルト表現におけるコの球面は R = α に対応する。t = 定数、φ = 定数であり、θに沿ってこの回転を行うと、結果は 2πα となり、これはコの球面上の大円の周長である。
これを自らの表現 (t, r, θ, φ) で繰り返すと、コの球面は ρ = 0 に対応する。θ座標に沿った回転によって得られる値はやはり 2πα である。
もっと驚くべきことは、シュワルツシルト表現においてコの球面が r = 0 に対応する場合でも、同じ長さ 2πα が得られることである！これは非常に混乱を招く。なぜなら、「r = 0 の点を一周する」という操作が非ゼロの長さを与えるからである。実際、r は点ではない。これは微分幾何学と計量による物体表現の特徴的な難解な側面である。
この思考実験により、r を「次元的な長さ」として捉えるべきではないことが納得できるだろう。まさに、r を「中心からの半径距離」として想像するからこそ、混乱が生じるのである。
実際には、「次元」という言葉自体が混乱を引き起こしている。代わりに「我々はこの幾何学的対象の点を次元の集合を使って位置づける」と言うのではなく、次のようにすべきである：
— 我々はこの幾何学的対象の点を空間的マークを使って位置づける：
(x₀, x₁, x₂, x₃)
しかし、文字 x さえも誤解を招く可能性がある。r が中心からの半径距離を表す変数であるという誤った考えを完全に排除するため、空間的マークは中立的なギリシャ文字、たとえば β や ζ を用いて表すべきである：
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃)
さて、一般化された計量の概念に戻ろう。数学および幾何学において、計量とは一体何だろうか？
地球は平らではない。球体である。しかし、これは地図作成者にとって問題を引き起こす。大陸を地球儀上で見れば何も問題ない。しかし、曲がった世界を平らな紙や平面的な媒体上に表現するにはどうすればよいだろうか？複数の地図が作られ、それらがアトラスとしてまとめられる。隣接する地図は、経線と緯線の対応を調整することでつながる。
より一般的には、この技術を使って任意の曲面を地図化できる。たとえば自動車のボディ。このアトラスの各平面的要素は、計量の局所的な記述に対応する。数学者や幾何学者はこの概念を拡張し、非ユークリッドな要素からなるアトラスを考案した。紙が存在しない世界を想像してみよう。代わりに、球面の一部に形作られた乾燥した葉を重ねて、奇妙な曲がったアトラスを作り出すのだ。このような方法で、すべてのものを段階的に地図化できる（平面さえも含む）。
この技術には、地図化される対象の位相に関する制約はない。
シュワルツシルト計量で表された対象を「極座標」で表現しようとする行為は、その位相について強い仮定を暗黙のうちに含んでいる。
以下では、解の計量が自らの位相を内包しており、我々が自由に選ぶことはできないという考えが中心となる。従って、アトラスを構成する従来の地図的アプローチを完全に放棄し、対象がただ計量によって記述され、その計量は「適切な」座標系、すなわち解の計量に内在する位相と一致する座標系で表現されていると考える。この主張の根幹は以下の通りである：
– 長さ単位 s はどこでも実数でなければならない。
– その結果として、計量の符号は不変でなければならない。
これらの観点と提案に基づき、従来のブラックホールモデル、その複数の病理的性質を含むモデルを再考することができる。これは、ヒルベルトがこの幾何学に与えた解釈の結果ではないだろうか？それにより、「ブラックホール内部」と呼ばれる幻影が維持され、それは「クラスカル解析接続」を通じてアクセス可能だとされている。マルダセナは講演で、「これにより解が時空全体に拡張できる」と述べた。実際、ブラックホール専門家は、研究対象の位相についてあらかじめ明確な考えを持っている。どうしてか？
位相的に、2次元の曲面を考える。閉曲線を描き、その長さをゼロまで縮小しようとする。このとき、以下の2つのシナリオが考えられる：
– その長さをゼロまで縮小できる。
– 最小限の長さに達する。
これは次の図で示される：
もし2次元の曲面上の住人が「円の中心には何があるのですか？」と尋ねたら、我々は「その質問には意味がない。これらの円には中心が存在しない」としか答えられない。
3次元の世界に移行すると、このような可縮性は球面を表面をゼロまで縮小することで表現される：
もしこの操作が成功すれば、その球面には「内部」と「中心」がある。
しかし、3次元空間が必ずしも可縮ではない。もし可縮でなければ、ある領域（2次元球面の位相を持つ表面）では、同心球面の層化（すなわち、玉ねぎを剥くように）は最小の表面に達する。その後、さらに層化を進めようとしても、表面は再び増大し始める。なぜなら、我々が越えた最小表面は実際には「コの球面」だったからである。
これは3次元では表現できないが、前述の2次元図を参照すれば、右側で最小値は赤色のコの円であることがわかる。この概念は3次元超曲面に拡張でき、任意の次元を持つ超曲面にも拡張できる。
マルダセナが「クラスカルによる解析接続により解を時空全体に拡張できたことに感謝する」と述べるとき、彼は（何千人もの先駆者と同じように）無意識のうちに、彼が言及する4次元超曲面、すなわち「時空」の位相について仮定していることに気づいていない。
しかし、この試みは計量の符号を変化させ、長さ単位を純虚数に変換することを伴う。これは形式主義が単に「答え」を返しているだけである：
— おっと！あなたは超曲面の外側にいますよ！
実際、彼はそもそも存在しない時空領域を探求しようとしている。まるで、トーラスの接平面を研究するために、その軸近くで解析接続を行おうとする幾何学者が、アリスの不思議の国の「狂った機械技師」のように、車輪の軸付近の空気室にパッチを貼ろうと試みるようなものだ。もし私が間違っていたら、何十年もの間、存在しない対象を記述するために、紙、インク、そして知性（量子的知性を含む）が浪費されたことになる。それに伴うすべての結果、たとえば「中心特異点」の性質なども、すべて無意味になる。このようなことが一世紀にわたり誰も気づかなかったというのは、驚きである。科学史家がその理由を明らかにしてくれることを願う。ヒルベルトが虚時間という幻想を提唱したことで、「空間的符号（– + + +）」という考えが広まったかもしれない。これは、長さの単位の二乗が符号を変えることについて誰も注意を払っていない可能性を示唆している。しかし、それが単なる「規約」であるとは言えない。
一方、シュワルツシルト（およびアインシュタイン）は、時間的符号を (+ – – –) と選択していた。シュワルツシルトの論文から明らかである：
逆に、角度に関する項の符号を固定することで、ヒルベルトは暗黙のうちに符号を (– + + +) に固定している：
これらの問題を探究したい物理学者、学生、エンジニアは、以下のリンクから、このページに引用された論文の英語訳（ドイツ語で1000年前に最初に発表された歴史的論文も含む）をダウンロードできる。彼らが読んだことはおそらくないだろう。現代のブラックホール専門家は、観測に基づかない宇宙物理学を構築しており、厳密さを欠いた数学から生まれている。
• 歴史的論文：
シュワルツシルト, K. (1916年1月13日)。
。
Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英語訳：
Antoci, S. ; Loinger, A. (1999年5月12日)。『アインシュタイン理論における点質量の重力場について』。
。
シュワルツシルト, K. (1916年2月24日)。
。
Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英語訳：
Antoci, S. (1999年5月12日)。『アインシュタイン理論における非圧縮性流体球の重力場について』。
。
フランク, Ph. (1916)。Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik .
46 : 1296。
英語訳：
Antoci, S. (2003)。『付録A：シュワルツシルトの「Massenpunkt」論文に関するフランクの報告』『デイヴィッド・ヒルベルトとシュワルツシルト解の起源』。
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . ブレーメン：Wilfried Schröder, Science Edition。
。
ドロステ, J. (1917)。
。
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A .
19 (I) : 197-215。1916年5月27日、H. A. ローレンツ教授がKNAW会議で報告。
再版（2002）：General Relativity and Gravitation .
34 (9) : 1545–1563。doi:10.1023/A:102074732。
ヴェイル, H. (1917)。
。
Annalen der Physik .
54 (18) : 117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。
英語訳：
Neugebauer, G. ; Petroff, D. (2012年3月)。
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General Relativity and Gravitation .
44 (3) : 779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
ヒルベルト, D. (1916年12月23日)。
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76。
英語訳：
Renn, J. (2007)。
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The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038。
• さらに深く：
Abrams, L. S. (1979年11月)。『点質量に対する代替時空』。
Physical Review D .
20 (10) : 2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 訂正：
Abrams, L. S. (1980年4月)。『訂正：点質量に対する代替時空』。
Physical Review D .
21 (8) : 2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
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Abrams, L. S. (2001)。『ブラックホール：ヒルベルトの誤りの遺産』。
Canadian Journal of Physics 67 (9) : 919–926。doi:10.1139/p89-158。
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Antoci, S. ; Liebscher, D.-E. (2001)。『シュワルツシルト解の元来の解の再検討』。
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322 (2) : 137–142。
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Antoci, S. (2003)。『デイヴィッド・ヒルベルトとシュワルツシルト解の起源』。
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics . ブレーメン：Wilfried Schröder, Science Edition。
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Petit, J.-P. ; d’Agostini, G. (2015年3月21日)。
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Modern Physics Letters A .
30 (9) : 1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
Petit, J.-P. (2017)。
（YouTubeプレイリスト、英語字幕付き）。
また、こちらも参照してください。
私はちょうどドイツのフランクフルトで開催された、重力物理学およびゲージ/重力対応に関する第3回カルル・シュワルツシルト会議（FIAS：フランクフルト先端研究機構）から帰ってきたところです。
私は自分のポスターの内容について非常に迷っていましたが、最終的に、ジャンス宇宙モデルの核となる連立場方程式系を提示することに決めました。
これは会議の中心テーマ「ブラックホール物理学」にはあまり合致していませんでした。私はこのテーマを後で取り上げるつもりでしたが、2015年に『Modern Physics Letters A』誌に発表した論文：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
.
Modern Physics Letters A .
30 (9) : 1550051. doi : 10.1142/S0217732315500510.
が、すでに査読付きで発表されたものの中で最も近いものでした。ポスターの横に掲示板があったので、この論文の要点を書き出しました：
これが多くの注目を集めました。会議参加者たちは写真を撮り、群衆が集まりました。60歳くらいの研究者が、1916年にシュワルツシルトが得た計量解のすべての特異点が単純な変数変換で消去できるという主張にすぐさま疑念を呈しました。彼は他の参加者とは異なり名札をつけていなかったので、フランクフルト先端研究機構（FIAS）のメンバーだと推測しました。以下がその変数変換です：
ついに批判者が現れた！さらに明確にするために、私はすぐに計算の詳細を紙に書き出し、専門家に渡しました。彼は紙を受け取り、少し離れて椅子に座り、15分間その方程式に集中しました。
皆が彼の判断を待っていました。最終的に、彼はうなずきながら私の論文を返してくれました。顔には驚きが浮かんでいました。彼はおそらく次のように思っていたでしょう：
「これまで見たことがない。当然、このフランス人はどこかで間違いをしているはずだ。後で見つけるだろう。」私はこの問題に彼を巻き込み、1916年にシュワルツシルトが得た結果の解釈に関する議論を提起しようとしました（会議の名前がまさに「カルル・シュワルツシルト会議」だったのです！）。彼に、ドイツ科学アカデミーの『報告』誌に掲載されたオリジナル論文、いわゆる「シュワルツシルト外部解」について読んだことがあるか尋ねました：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英訳タイトル：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] さらに、数週間後に発表された（死の3か月前）、いわゆる「シュワルツシルト内部解」：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英訳タイトル：
Antoci, S. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] 彼はそれらを読んだことがない（！）と認め、次のように言いました：
— ドイツ語は読みますか？
— いいえ。でも最近の英訳版（1999年）を読みました。100年前の論文です。私のノートパソコンにその資料があります。一緒に読んでもいいですか？ 1916年12月にデービッド・ヒルベルトが発表した非常に重要な論文もあります。シュワルツシルトの死後、彼がシュワルツシルトの仕事を継承しています。
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英訳タイトル：
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4 : Gravitation in the Twilight of Classical Physics : The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
彼はそれを避け、それも知らない（！）と付け加えました。実際、フランクフルトでわかったのは、ブラックホール専門家たちが、彼らの研究の出発点となった基礎論文をまったく知らないということです。全会員を前にした講演で、現代ブラックホール理論の代表的人物が次のように述べました（ノートに記録された通り）：
ホアン・マルダセナ — シュワルツシルト解は1世紀以上にわたり我々を混乱させ、空間と時間の概念を洗練させる必要を迫りました。アインシュタイン理論の理解を深める助けとなりました。実験的にも、いくつかの天体観測を説明できます。その量子的側面は、時空の幾何学と量子力学の関係をより深く理解するよう私たちに迫る理論的パラドックスを生み出しました。
実際、この意味は何でしょうか？
まず、「ホーキング放射」の「発見」です。実際、これすべては一般相対性理論と量子力学の統合という考えに基づいています。しかし、このような結合は一度も成立したことはありません（重力は量子化されず、スピン2の重力子が常に見つかっていない）。現代の理論家たちは、この空想を真実だと信じています。彼らはイベントホライズン付近の量子現象を援用して、「ホーキングがブラックホールがエネルギーを失い、放射することができることを示した」と主張します。これにより、ブラックホール情報パラドックスが生じました。つまり、ブラックホールと呼ばれる物体では、すべての構造が圧縮され、完全に消滅するとされます。したがって、ブラックホールは「情報破壊機械」です。マルダセナはその後、ブラックホール熱力学の進展を概説しました。特に、「ブラックホールのエントロピーはその表面積に比例する」と強調しました。
要するに、過去数十年間、理論家たちの関心はこの情報パラドックスを回避する方法に集中してきました。おそらく「火の壁」や他の類似の話題を聞いたことがあるでしょう。マルダセナの最新の研究では、新しい「魔法の言葉」が登場します：
エンタングルメント。量子力学と有名なアインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼン（EPR）パラドックスから生まれた概念で、私は動画で説明しました。この有名な実験では、発生した2つの光子は「エンタングル」されています。要するに、マルダセナによれば、「エンタングルメント」がすべての答えを提供します。それに加えて、弦理論の一端です。
2017年における理論の最良の姿です。
会議参加者たちは明らかにJANUS動画（参照）に言及していました。ジュリエン・ジェフレイによる驚くべき努力のおかげで、動画は英語字幕付きに翻訳され、会議開催時点で6本がすでに翻訳されていました（JANUS 14～19）。そしてここから、英語での正確な翻訳がフランス国外で注目されるために絶対に必要であると理解しました。私は悪い英語の翻訳は提供できません。外国ユーザーはすぐにスキップするでしょう。20年間私の研究を追ってきたジェフレイは、シェイクスピアの言語を完璧に扱う唯一の人であり、非常に繊細な字幕作業（1本あたり2～3日）を担当できる唯一の人物でした。1本あたり15,000～20,000文字のテキストで、専門用語が多く、視覚的配置と10分の1秒単位のタイミング調整が困難であり、発表論文や科学漫画へのリンクを含む地図の作成も必要です。
非フランス語話者に与える影響を見て、すべてのJANUS動画を英語字幕付きにする必要があると理解しました。翻訳範囲を拡大するために価格を再交渉しましたが、20本以上で予算は依然として高額です。
インターネットユーザーたちが呼びかけに応じ、寄付を送ってくれました（感謝します！）。これらの資金により、私は海外旅行ができ、国際会議（登録費、旅費、宿泊費）に参加できるようになり、字幕作業も行えます。私は今後も月2本のペースで動画を制作し続けます（はい、量子力学に関するJANUS動画も作成します）。私の考えでは、これは非常に価値のある投資です。Web上の文章はたいてい忘れ去られますが、動画は時間の制限なく残り、現代のコミュニケーション手段として最適だからです。
2018年春までの予算計画（字幕＋会議）：20,000ユーロ。真実を明らかにするには代償が必要です。
インターネットユーザーから送られた資金が、次の会議（シュワルツシルト会議、フランクフルト；その後のCOSMO-17、パリ…）への参加を確保できるほど十分であれば、字幕作業および将来の会議に必要な追加支援が必要です。
動画の影響：シュワルツシルト会議での若手研究者の反応。そのうち一人、イタリア人研究者が最終的に次のように言いました：
— あなたのジャンス宇宙モデルに関する論文を読みました（彼は内容を理解する専門知識を持っていました）。ここでのあなたの扱い方を見て、どうしてこの人たちがあなたに背を向けないことを期待できるでしょうか？ あなたが提案しているのは、彼らの研究の根幹を破壊することです！
この若者との接触は確立され、維持されています。彼はイタリアで修正ニュートン力学（MOND）に関する研究を行っています。これは最初の種まきです。私が国際会議でさらに「アプローチ」を続ける限り、若い世代にも他の種が芽吹くでしょう。ただし、私が言及した壮大な業績で名声を得た人々の中にはいないかもしれません。
将来、これらの若者たちの一人がこう言う日が来るでしょう：
「私はMOND理論を真に信じていない。でも、このフランス人の物理学者の考えがどこへ導くか試してみようか。」このような接触と交流は、彼らが私の動画を見て、会った際にジャンスモデルに関する論文も読めるようになることで容易になります。
フランクフルトでは、ほとんどの発表が「ブラックホール物理学」、「観測可能な状況を想像する」というテーマでした。さらに「ホログラフィック宇宙」という新しいアイデアも加えられました（本当のホログラムとは何かを説明する動画を作成しなければなりません）。女性研究者が「宇宙弦を恐れる必要はない」と述べました。別の研究者は、宇宙膨張のインフレーション期に小さなブラックホールのペアが形成され得ることを示しました。さらに弦理論や「ブレーン衝突」に関する物語も加えられます。私は、観測と照らし合わせられる可能性のある研究や結果を提示する唯一の人物です。
私が宇宙論界を醒まし、反応を引き出したいなら、彼らの愛児であるブラックホールに直接攻撃しなければなりません。これは、以前はもっと後になって行うだろうと想像もしていませんでした。しかし、フランクフルト会議の雰囲気が状況を修正するよう促しました。したがって、次の動画のタイトルは：
JANUS 21：1916年にカルル・シュワルツシルトが得た解の誤解から生まれたブラックホール。これはパリでの国際会議COSMO-17でも私の言葉になります。ブラックホールの代替モデルを提案するのではなく、次のように宣言します：
— 今のままの形では、「ブラックホール」と呼ばれるこの物体のモデルは整合性がありません。なぜなら、1916年にシュワルツシルトが得た解と一致しないからです。そして私はそれを示します。
ドイツの数学者カルル・シュワルツシルトは、1916年5月11日、43歳でポツダムで亡くなりました。彼の解が発表されてから3か月後のことです。この解は1916年にシュワルツシルトによって得られ、次のように発表されました：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英訳タイトル：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
[physics.hist-ph] この最初の論文で、シュワルツシルトは「座標 r」を「極座標」として明確に定義しています：
しかし、彼は「補助量 R」というものを導入し、1916年1月にその有名な「外部解」をこれを使って表現しています：
数学の専門家でなくても、シュワルツシルトが選んだ変数 r（上記のように定義された）が厳密に正である限り、中間量 R は自由ではなく、下限 α を持つことがわかります：
シュワルツシルトは1916年5月11日、ポツダムで43歳で亡くなりました。最初の発表から数か月後のことです。
1916年12月にゲーテン大学科学アカデミーで発表された発言において、ドイツの大数学者デービッド・ヒルベルト（1916年当時54歳）は、この解の表現方法をあまり興味深いものではないと考えました。その結果、特異点（R = α）が原点 r = 0 に移動します。
ヒルベルトの発表日は1916年12月23日（シュワルツシルトは5月に亡くなっている）：
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英訳タイトル：
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4 : Gravitation in the Twilight of Classical Physics : The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
実際、ヒルベルトはすでに一般相対性理論の研究に積極的に取り組んでいました。彼の論文のタイトルは「物理学の基礎」です。よく誤解されるのは、アインシュタインが物理学者で、ヒルベルトは純粋な数学者だということです。実際、ヒルベルトは科学の技術的側面をあまり好みませんでした。ある日、病気の同僚数学者フェリックス・クラインの代わりに、工学学生向けの講義を担当するよう依頼されました。ヒルベルトは次のように講義を始めました：
— 科学者とエンジニアの間には敵意があると言われています。私は信じません。実際、それはあり得ないでしょう。どちらの側にももう一方とは関係がないからです。
しかし、これはエンジニアだけを標的にしたものではありませんでした。彼の有名な言葉にもあるように：
— 物理学は、物理学者にとって難しすぎます。
ヒルベルトの数学的業績は実に大きいですが、この歴史的文書を参照すると、彼が強力な数学化された物理学（真の数学的物理学）の基礎を築こうとしていることがわかります。工学部での冗談と比べると、ヒルベルトは少し考えを変えたかもしれません。アインシュタインとの出会いや、当時の偉大な物理学者たちとの交流の後です。もちろん、自分の貢献を提供する際には、彼は最初から大きな目標を持っています。この論文は、すべての物理学、すなわち重力と電磁気学の両方を含む「ラグランジュ的アプローチ」の基礎を築いています。この記述では、ヒルベルトが当時のすべての物理学を統合しようとしていることが明確です。これは後に「統一場理論」と呼ばれるものになり、アインシュタインが生涯をかけて完成させようとしたプロジェクトです。このプロジェクトは失敗しました。なぜなら、4次元では二つの形式を同時に含めることは不可能だからです。1954年にジャン＝マリー・スリオが優れた著作『幾何学と相対性』（残念ながらフランス語のみで出版されましたが、現在は無料公開されています）で明確に説明したように、電磁気学は「カルツァの5次元」を追加することで一般相対性理論に組み込むことができます。
ヒルベルトが1916年12月23日に22ページの論文を発表したとき、これはシュワルツシルトの研究の後追い的な即興作ではなく、2015年11月に以前に発表された大規模な発表の第二部です。彼はそれを十分に構築されていないと判断し、1年かけて少しずつ充実させ、シュワルツシルトの非線形場方程式解（並行して発表）を含むさまざまな展開も加えました。
いずれにせよ、ヒルベルトはシュワルツシルトの解を、自身のより広範な研究の中での小さな点として明確に提示しています。
すべては以下の抜粋にかかっています：
ヒルベルトは w₁, w₂, w₃, w₄ の4つの座標を導入し、すぐに最初の3つ（空間座標）が極座標を使って表現できることを述べます。彼は、質量点周囲の重力場問題を「中心対称性」（zentrischsymmet）に属すると考えています。
シュワルツシルトが与えた計量を、場方程式の解として用い、座標 (t, r, θ, φ) で表現すると、最初はコルの球面が単一の点（円錐の頂点に似た）r = 0 に縮小しているように思えます。しかし、これはこの量に「次元的な値」を割り当てていることになり、実際には「空間座標」にすぎません。微分幾何学における空間座標とは、特定の点を位置づけるための数値にすぎません。実際の距離、意味を持つ長さは、計量を使って計算されるものです。これらの長さを s で表し、同じ2つの経路が異なる座標系で記述されたとしても、不変です。
解の球対称性により、4つの座標のうち3つ（t, r, φ）を固定し、θ座標について2π回転させることができます。ヒルベルトの表現におけるコルの球面は R = α に対応します。t = 定数、φ = 定数でこの回転を行うと、結果は2παとなり、コルの球面上の大円の周長になります。
私自身の表現 (t, r, θ, φ) でも同じ操作を繰り返します。この場合、コルの球面は ρ = 0 に対応します。θ座標についての回転も再び2παの値を与えます。
もっと驚くべきことは、シュワルツシルトの表現でコルの球面が r = 0 に対応する場合にも、この長さ2παが得られることです！ これは非常に混乱を招きます。なぜなら、「r = 0 の点の周りを回る」のに非ゼロの長さが得られるからです。それは r が「点」ではないからです。これは微分幾何学と計量による物体表現の特徴的な難しさです。
この思考実験により、r を「次元的な長さ」としては考えないことが理解できるでしょう。まさにすべてが r を「半径方向の距離」として想像するから、混乱が生じるのです。
実際、混乱を引き起こしているのは「次元」という言葉そのものです。代わりに「我々はこの幾何学的対象内の点を次元の集合を使って位置づける」と言うのではなく、次のようにすべきです：
— 我々はこの幾何学的対象内の点を空間座標を使って位置づける：
(x₀, x₁, x₂, x₃) しかし、文字 x も誤解を招く可能性があります。r が可変な中心点への「半径方向の距離」と思われることを完全に排除するため、空間座標は中立的なギリシャ文字（β や ζ）で定義すべきです：
(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃) 一般論として計量に戻りましょう。数学や幾何学において、計量とは何でしょうか？
地球は平らではありません。球形です。これは地図作成者にとって問題です。大陸を地球儀上で見れば問題ありませんが、曲がった世界を平らな紙や平面の媒体にどのように地図化するのでしょうか？ 複数の地図が作られ、アトラスにまとめられます。隣接する地図は、経線と緯線の対応を調整することでつながります。
より一般的には、このような技術で任意の表面を地図化できます。たとえば自動車のボディ。このアトラスの各平面要素は局所的な計量記述に対応します。数学者や幾何学者は、この概念を非ユークリッドな要素からなるアトラスに拡張しました。紙が存在しない世界を想像してください。人々が球面の一部のように形作られた乾いた葉を使って、積み重ねられるような奇妙な曲がったアトラスを作ります。これにより、すべてのものを段階的に地図化できます（平面さえも）。
このような技術は、地図化される対象の位相について何の制約も課しません。
シュワルツシルトの計量で「極座標」を使って物体を形成することは、その位相に関する強い仮定を暗黙に含んでいます。
以降の考え方は、計量解が自らの位相を含み、我々には選択肢がないということです。従来のアトラスとしての地図のアプローチを完全に放棄し、物体がその計量によってのみ記述され、計量解と整合する「適した座標系」で表現されるものだと考えるのです。主な方針は：
– 単位長さ s はどこでも実数である。
– そしてその結果として：計量の符号は不変である。
これらのコメントと提案に基づき、古典的なブラックホールモデル（多数の病理を抱える）を再考することができます。これはヒルベルトがこの幾何学をどのように解釈したかの結果ではないでしょうか？ マルダセナが講演で述べたように、「ブラックホール内部」という幻想を「クラスクアルの解析接続」によって拡張することで、解を時空全体に拡張できると。しかし、ブラックホール研究者たちは、彼らが研究している対象の位相について先入観を持っています。どうしてでしょうか？
位相的に、2次元の表面を考えます。閉曲線を描き、その周囲をゼロに縮小できるか試みます。二つのシナリオがあります：
– 周囲をゼロまで縮小できる。
– 最小限の境界に達する。
これは次の図で示すことができます：
この表面の2次元住民が私に尋ねたとします：
— 円の中心には何がありますか？
私は、その質問が意味を持たないことを答えるしかありません。なぜなら、これらの円には中心がないからです。
3次元世界に移ると、このような収縮は表面積をゼロまで減らす球体の変形として現れます：
この操作が成功すれば、その球体には「内部」と「中心」があります。
しかし、3次元空間が必ずしも収縮可能ではありません。もし収縮可能でなければ、ある領域（2次元球面の位相を持つ表面）では、同心球面の層化（ジャガイモをむくように）は最小表面に達します。その後、層化を続けると、表面は再び増加します。なぜなら、さっき通過した最小表面は実際にはコルの球面だったからです。
これを3次元で描くことはできませんが、前の2次元図を参照すれば、右側では最小値が赤いコルの円であることがわかります。これは3次元超曲面や任意次元の超曲面にも拡張できます。
マルダセナが「クラスクアルが解を時空全体に拡張できるようにしてくれた」と称賛するとき、彼は（何千人もの前例があるように）4次元超曲面の位相について無意識に仮定していることに気づいていません。「時空」です。
しかし、この試みは計量の符号を変更し、単位長さを純虚数に変換するという結果になります。これは単に形式主義が「答え」を示しているだけです：
— ご注意ください！ あなたは超曲面の外にいます！
実際、彼は存在しない時空領域を探求しようとしているのです。まるで、トーラスの接平面の性質を研究するために、トーラスの軸近くで解析接続を構築する幾何学者が、アリスの不思議な国での狂った機械技師のように、タイヤの内側のチューブに部品を貼り付けようとするようなものです。もし私が正しいなら、何十年もの間、存在しない対象を記述するために、膨大な紙、インク、そして脳（量子的な脳も含む）が消費されてきたのです。その結果として「中心特異点」の性質など、すべてが生じています。なぜこれが1世紀にわたってまったく見過ごされたのか、不思議です。科学史家たちが答えを教えてくれるかもしれません。ヒルベルトが虚時間の幻想を持ったことで、空間的符号（– + + +）を伝えたのかもしれません。つまり、彼以降、長さ単位の二乗が符号を変えることについて誰も気にしなくなったのかもしれません。しかし、「これは単なる『慣例』の問題」と言うのは誤りです。
一方、シュワルツシルト（およびアインシュタイン）は、時間的符号（+ – – –）を選択しました。シュワルツシルトの論文からもわかります：
逆に、ヒルベルトは角度に関連する項の符号を固定することで、暗黙に符号を（– + + +）に固定しています：
これらの質問を探求したい物理学者、学生、エンジニアは、以下に掲載された、このページで引用されたさまざまな論文の英語訳（1000年前にドイツ語で発表された歴史的論文も含む）をダウンロードできます。現代の「ブラックホールの人々」がそれらを読んだことはおそらくないでしょう。彼らは観測のない天文学、厳密さの欠如する数学から生まれたものに接しているように見えます。
• 歴史的論文：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英訳タイトル：
Antoci, S. ; Loinger, A. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory ».
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Schwarzschild, K. (24 février 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英訳タイトル：
Antoci, S. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
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• さらに詳しく：
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(YouTubeプレイリスト、英語字幕付き)。
さらに参照：
カルル・シュヴァルツシルト会議第3回報告
FIAS、フランクフルト、ドイツ
2017年7月24日～28日
2017年8月2日 **
"シュヴァルツシルト解の中心特異点の自然な質量逆転プロセスによるキャンセル"****** ** **
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"** ****
arXiv:physics/9912033
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
**
すべてのプレイリストはこちら** **
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"** **
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**
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"** ****
arXiv:physics/9912033
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"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"** ****
https://arxiv.org/abs/physics/9905030[arXiv:physics/9905030](https://arxiv.org/abs/physics/9905030)
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"** ****
arXiv:physics/9912033
"The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation, and the motion of a particle in that field"****** ** ********
"Zur Gravitationstheorie"****** ****
"On the theory of gravitation"******
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"** ****
"The Foundations of Physics (Second Communication)"**
[arXiv:gr-qc/0201044](arxiv arXiv:gr-qc/0201044)
******arXiv:gr-qc/0102055
******arXiv:gr-qc/0102084
****"The Janus Cosmological Model"
私はつい先ほど、ドイツ・フランクフルトの著名なFIAS（フランクフルト先端研究機関）で開催された重力物理学およびゲージ/重力対応に関する第3回カール・シュヴァルツシルト会議から戻ってきました。
私のポスターの内容に非常に迷いがありました。最終的に、私の2つの連立場方程式のシステムを発表することに決めました。これは、ジャンヌス宇宙モデルの中心的なものです。
これはシンポジウムの中心テーマである「ブラックホールの物理学」に合っていませんでした。これは私が後で取り上げようと思っていたトピックでしたが、2015年に『Modern Physics Letters A』に掲載した論文：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 March 2015).
.
Modern Physics Letters A .
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
はすでに査読済みの出版物の中で最も近いものでした。私のポスターの横に黒板があったので、この論文の主要な点を書きました：
これは多くの注目を浴びました。会議参加者は写真を撮り、群衆が集まりました。60歳のシニア研究者は、シュヴァルツシルトが1916年に見つけたメトリック解のすべての特異点が単純な変数変換で消去できるという事実に疑問を呈しました。彼はバッジをつけていなかったので、他の人とは異なり、彼はFIASのメンバーであると結論付けました。これはこのシンポジウムを開催しているフランクフルト先端科学研究所です。以下はその変数変換です：
一部の批判がありました！さらに明確にするために、私はすぐに計算の詳細を書いた紙を専門家に渡しました。彼はその紙を持って少し離れて、椅子に座って15分間その方程式に没頭しました。
皆が彼の判断を待っていました。彼はやがて私の論文を返却し、うなずいて了承しました。彼の顔には最大の困惑が浮かんでいました。彼が言っていたと私は考えます：
「私はこれまでこのことを見たことがありません。明らかに、このフランス人がどこかで間違いを犯しているに違いないが、私は今それを見逃している。後で見つけるだろう。」私はこの問題に彼を引き込み、カール・シュヴァルツシルトの1916年の結果の解釈に関する問いを提起しました（シンポジウムは「カール・シュヴァルツシルト会議」と呼ばれていました！）。彼に、プロイセン科学アカデミーの会報に掲載されたオリジナルの論文を読んだかと尋ねました。これは現在「外部シュヴァルツシルト解」と呼ばれているものです：
Schwarzschild, K. (13 January 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英語訳は：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 May 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] また、彼の2つ目の論文も、数週間後（彼の死の3か月前）に掲載され、「内部シュヴァルツシルト解」：
Schwarzschild, K. (24 February 1916).
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英語訳は：
Antoci, S. (12 May 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] 彼は読んだことがないと認めました（！）付け加えて：
— ドイツ語を読みますか？
— いいえ、しかし私は英語訳を読んだことがあります。1999年に出版された最近の訳です。100年前の論文です。私は私のノートパソコンにそれらを持っています。一緒に見ることに同意しますか？また、1916年12月にデービッド・ヒルベルトによって出版された非常に重要なテキストもあります。彼はシュヴァルツシルトの仕事を彼の死後に引き継ぎました。
Hilbert, D. (23 December 1916).
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英語訳は：
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.彼は回避し、その他の記事も知らないと付け加えました（！）実際に、フランクフルトで私が発見したのは、ブラックホールの研究者たちは、彼らが発展させようとしている作品の出発点となった原典を知らないということでした。会議の全参加者に向かって、ブラックホール理論の現代的な発展の「人物」である、マルドセナ氏が講義をしました。彼は（以下に掲載されているように）次のように述べました：
Juan Maldacena — シュヴァルツシルト解は私たちを100年以上困惑させ、空間と時間の見方を鋭くしました。これはアインシュタイン理論のより明確な理解をもたらしました。実験的には、いくつかの天体物理学的観測を説明しています。その量子的側面は、時空の幾何学と量子力学の関係をよりよく理解するための理論的パラドックスをもたらしています。
具体的に、何がポイントなのでしょうか？
まず、「ホーキング放射」の「発見」がありました。実際、すべては一般相対性理論と量子力学の統合に基づいています。このような結婚はこれまで一度も成立したことがありません（重力は量子化されず、重力子、スピン2の粒子がまだ見つかっていません）。
現代の理論家たちは、このような幻想を現実と信じています。実際、ホーキングは、イベントホライズン近くの量子現象を援用して、ブラックホールがエネルギーを失い、「放射」することを「証明」しました。これはすぐにブラックホール情報パラドックスをもたらしました。確かに、ブラックホールと呼ばれるこれらの物体では、あらゆる構造が潰されることが予想されています。あらゆるものが完全に消えてしまいます。したがって、ブラックホールは「情報破壊の機械」です。マルドセナは「ブラックホール熱力学」に関する進展を示しました。特に、「ブラックホールのエントロピーがその表面に比例している」と指摘しました。
要するに、ここ数十年、理論家たちはこの情報パラドックスを回避する方法に注目してきました。あなたは「ファイアウォール」や他のものについて聞いたことがあるかもしれません。彼の最新の仕事では、新しい「魔法の言葉」を呼び出しました：
エンタングルメント。これは量子力学の概念であり、有名なアインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼンパラドックス（EPRパラドックス）から派生したものです。私は私のビデオでそれを説明しました。この有名な実験では、放出された2つの光子は「エンタングル」されています。簡単に言うと、マルドセナによれば、「エンタングルメント」がすべての答えをもたらします。それに加えて、少しの弦理論。
このようなスピーチは、2017年の理論の最高のものです。
シンポジウムの参加者は明らかにJANUSの動画を参照しました（参照：）。ジュリエン・ゲフレイの素晴らしい作業により、動画は英語字幕で翻訳され、シンポジウムの開会時に6本の動画がすでに翻訳されていました（JANUS 14〜19）。そして、その時点で、英語の良い字幕がフランス語圏外で聞こえるために絶対に必要であることに気づきました。私は悪い英語の翻訳を提供することはできません。外国のインターネットユーザーはすぐに離れます。ゲフレイは20年間私の仕事を追跡し、シャクスピアの言語を完全に理解しています。彼がこの字幕作業を担当しました。これは非常に繊細な作業で、1本の動画につき2〜3日の作業が必要です。これは1本あたり15,000〜20,000文字で、多くの専門用語を含むテキストであり、視覚的に配置し、0.1秒単位で調整する難しさ、および私の出版論文や科学コミックへのカードの作成が含まれます。
非フランス語話者の反応を見て、私はすべてのJANUSシリーズを英語で字幕をつけるべきだと実感しました。私たちは価格を再交渉して翻訳をさらに拡大しましたが、20本以上の動画に対して予算は依然として高いです。
インターネットユーザーは呼びかけに応じ、[ここ]を通じて寄付を行いました。このお金は、私が海外を旅して国際会議に参加する（登録料、旅費、滞在費）ことや、この動画の字幕作業に役立ちます。さらに、私は月に2本の動画を制作し続ける予定です（はい、量子力学に関するJANUS動画も作ります）。私は、ウェブサイト上のテキストはしばしば忘れ去られても、動画は時間の制限なく続く現代的なコミュニケーションツールであると考えているので、これは良い投資だと考えています。
2018年春までの予算（字幕＋シンポジウム）：20,000ユーロ。真実を明らかにするには、代償が必要です。
インターネットユーザーから送られたお金（非常に感謝します！）が、私の次のシンポジウム（シュヴァルツシルト会議、フランクフルト；その後、COSMO-17、パリ…）への出席を確保するのに十分であれば、これらの字幕費用とその後の会議に対応するための追加の支援が必要になります。
この動画の影響：シュヴァルツシルト会議での若手研究者の反応。そのうちの一人、イタリア人だったが、私に次のように言いました：
— 私はあなたのジャンヌス宇宙モデルに関する論文を読んだことがあります（彼は内容を理解する専門知識を持っていました）。ここでのあなたの受け入れ方を見て、どうしてこれらの人があなたに背を向けること以外に何ができるのかと尋ねました。あなたが提案しているのは、彼らの仕事の基盤を破壊することです！
この若い男性との接触は確立され、維持されています。彼はイタリアで修正されたニュートン力学（MOND）について研究しています。これは最初の種です。私が国際会議で「話しかけ続ける」限り、若い世代にも他の人が現れるでしょう。おそらく、私が言及したような幻想的な仕事で有名になった人とは関係ありません。
これらの若者の中には、次のように言う人もいます：
「私はこのMOND理論を本当に信じていません。このフランス人の物理学者の考えがどこへ導くかを試してみる価値はあるかもしれませんか？」これらの接触と交流は、これらの若い研究者が私の動画を見て、会ったときにジャンヌスモデルに関する論文を読むことができるという事実によって促進されます。
フランクフルトでは、ほとんどの発表は「ブラックホールの物理学」に焦点を当てており、「観測できるもの、観測できるかもしれないもの」について話していました。この新しい「ホログラフィック宇宙」のアイデアを加えました（私はホログラムが実際に何であるかを説明する動画を作らなければなりません）。ある女性は「宇宙の文字列を恐れるべきではない」と説明しました。別の人は、宇宙の膨張のインフレーション期にミニブラックホールのペアがどのように形成されるかを示しました。弦理論や「ブレーン衝突」に関する物語も追加しました。私は実際には、他の誰よりも目立つ存在でした。私の仕事と結果を提示し、観測と対比できるものでした。
私が宇宙論コミュニティを起こし、反応させたいなら、私は彼らの愛児であるブラックホールを攻撃しなければなりません。これは私が後でやるつもりだったことではありませんでした。しかし、フランクフルト会議の状況が私を修正させました。したがって、私の次の動画のタイトルは：
JANUS 21: ブラックホールは、1916年にカール・シュヴァルツシルトが見つけた解の誤解から生まれたものです。これは、パリで開催されるCOSMO-17国際会議での私の言葉にもなります。これは、ブラックホールの代替モデルを提案すること（まだではありません）ではなく、次のように主張することです：
— この「ブラックホール」と呼ばれる対象のモデルは、現在のままでは不一致であり、1916年にカール・シュヴァルツシルトが見つけた解と一致しないため、それを示します。
ドイツの数学者カール・シュヴァルツシルトは、1916年5月11日にポツダムで43歳で亡くなりました。彼の解が1916年にアインシュタイン方程式に対して発見され、次のように出版されました：
Schwarzschild, K. (13 January 1916).
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Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英語訳は：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 May 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
[physics.hist-ph] この最初の論文では、シュヴァルツシルトは「極座標」としてrという座標を完全に定義しています：
しかし、彼はそれと呼ぶ補助量Rを導入し、1916年1月に彼の有名な「外部」解をそれを使って表現しました：
数学の専門家でなくても、シュヴァルツシルトが選んだ変数r（上記のように定義されたもの）が厳密に正である限り、中間量Rは自由ではなく、下限αを持っています：
シュヴァルツシルトは1916年5月11日にポツダムで43歳で亡くなりました。この最初の出版からわずか数か月後でした。
1916年12月にゲーティンゲン科学アカデミーで行われた発表で、この仕事を再開したドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルト（1916年当時54歳）は、この解の表現方法を無関心と見なし、この場合、特異点（R = α）を原点、r = 0に送りました。
ヒルベルトの発表は1916年12月23日に日付がついています（シュヴァルツシルトは5月に亡くなりました）：
Hilbert, D. (23 December 1916).
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76.
英語訳は：
Renn, J. (2007).
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics . Springer. 1017–1038.
実際、ヒルベルトはすでに一般相対性理論の研究に熱心に取り組んでいました。彼の論文のタイトルは「物理学の基礎」でした。人々は通常、アインシュタインが物理学者で、ヒルベルトが純粋な数学者だと考えがちです。実際、ヒルベルトは科学の技術的な側面をあまり好きではありませんでした。ある日、彼は病気の同僚数学者フェリクス・クラインに代わって、学生エンジニアの前で講義をしなければならないように求められました。ヒルベルトはその講義を次のように始めました：
— 科学者とエンジニアの敵対関係について多くの話があります。私はそのようなことには信じていません。実際、それは間違いだと確信しています。どちらの側にも関係がないからです。
しかしエンジニアだけが悪者にされたわけではありません。彼の有名な一言もあります：
— 物理学は、物理学者にとって難しすぎる。
ヒルベルトの数学への貢献は実に大きいです。しかし、この歴史的文書を参照して好奇心をもって調べれば、彼が高度に数学化された物理学（真の数学的物理学）の基盤を築こうとしていることがわかります。エンジニアリング学部での彼の冗談と比較すると、彼は少し考えを変えたかもしれません。アインシュタインとの会話や、当時の偉大な物理学者たちとのやりとりに影響されたのかもしれません。もちろん、自分の貢献を出すとき、彼はすぐに大きな目標を掲げます。この論文は、すべての物理学（重力と電磁気）に「ラグランジュ的アプローチ」を設ける基礎を築いています。つまり、重力と電磁気の両方です。この執筆では、彼が「当時のすべての物理学」を統一場理論としてまとめようとしていることが明確です。アインシュタインも生涯を通じてこの夢を達成しようとしましたが、失敗しました。そのプロジェクトは失敗しました。なぜなら、4次元では両方の形式主義を一緒に含めることは不可能だったからです。ジャン＝マルク・ソリアウが1954年に優れた本『幾何学と相対性』（残念なことにフランス語のみで出版され、今では無料で利用可能）で説明しているように、電磁気は5次元を使って一般相対性理論に組み込むことができます。これは「カールザの5番目の次元」として知られています。
ヒルベルトが1916年12月23日にこの22ページの論文を出版したとき、それはシュヴァルツシルトの論文の後の即興的なものではなく、1915年11月に提出された大規模な発表の第2部であり、以前に取り下げられ、ヒルベルトが不十分に構築されていると考えていたものです。彼は1年間かけて徐々にさまざまな発展を追加し、その間にシュヴァルツシルトのアインシュタイン場方程式の非線形解も出版されました。
いずれにしても、シュヴァルツシルトの解の追加は、ヒルベルト自身の大きな仕事の中で、それほど重要な点として明確に提示されています。
すべては次の抜粋に含まれています：
ヒルベルトは4つの座標w1、w2、w3、w4を導入し、すぐに最初の3つ（空間座標）が極座標を使って表現できることを述べています。彼が質量点の重力場についてこの問題を考えるとき、「中心対称性（zentrischsymmetrisch）」に属すると考えていることから、これは当然のことのように思えます：
最後の行では、彼はさらに進んで、自分の項G(r)がこの「半径距離」の二乗に等しいと述べています。
それからすべてが続きます。そして、何百もの本でこのアプローチが再現されます。ちなみに、彼が時間変数lをどう扱ったかを見てみましょう：
ヒルベルトでは、時間は純粋な虚数量です！
それが彼の相対性理論の解釈です。
上記の式（45）では、彼は「二重線形形式」を示していますが、ここでは歴史的な時空計量符号（+ + + –）の選択が明らかになります。この書き方では、時空の実際の、現実的な部分に注目が集まります：
空間（3つのプラス記号で影響を受ける）。
一方、時間は虚数（したがって、二乗するとマイナス記号を持つ）です。偶然にも、単位長さsも虚数になり、いわゆる「固有時間」も同様です。普通：ヒルベルトでは、時間に属するものはすべて虚数でなければなりません。
彼はシュヴァルツシルトの結果を手に入れた（符号の反転を除いて）と述べています。したがって、これは次のように書かなければなりません：
しかし、違いがあります：シュヴァルツシルトでは、これは文字rではなく、文字Rで書かれています：
両者は異なる意味を持っています。しかし、ヒルベルトはこの点にあまり注意を払っていません。なぜなら、彼にとっては明らかだったからです（当時はそうでした）：天文学者にとって、rは常にα（後に「シュヴァルツシルト半径」と呼ばれる）よりもはるかに大きいからです。
その根本的な違いを明らかにするために、シュヴァルツシルトが少し長生きしていたらどうしたかを説明しましょう。私たちは得ます：
しかし彼はそれには至らなかった。非明示的な形式が彼にとって十分だったからです。シュヴァルツシルトの論文での目的は、水星の近日点の進動を説明し、アインシュタインの線形化された結果を発見し、場方程式の非線形解を求めるものでした。
このメトリックは、r > 0の任意の値で正則です。
r = 0のとき、2つの最初の項の係数もゼロになります。この点の解釈について後で説明します。
しかし、ヒルベルトはこの仕事について短い注記を付けただけです（彼はシュヴァルツシルトの死を知っていたので、単なる下品な注記としての葬儀演説は少し控えめでした）：
翻訳：
— スワルツシルトが行うように、r = αの場所を原点に変換することは私の意見では推奨されません。スワルツシルトの変換は、この目的を達成するための最も単純なものではありません。
ヒルベルトにとって、r = αは「真の特異点」でした。しかし、後にそれが「座標特異点」であることが示され、変数変換によって消去可能であることがわかりました。
これらのメトリック解は、任意の座標系で表現できることを知っています。これはアインシュタイン場方程式の解の基本的な性質です。このまたはそのシステムの選択は物理学者の選択です。これはこれらの座標に物理的解釈を与えることを意味します。しかし、理論的結果は観測と対比しなければなりません。つまり、このような「質量点」によって作られる重力場内で粒子の軌道を計算し、その軌道を求める必要があります。当時はこれをしました。
古典的には、変数Rは極座標とみなされ、それによって排除されました。これらの測地線軌道が平面に描かれていることが示されています。したがって、この解は関数として表現できます：
その後、観測データと比較して、私たちは次のように結論付けます：
– これらの軌道は「準円錐」で、R = 0に焦点があります。
– 通常の惑星天文条件では、楕円軌道は非常に楕円に近いもので、わずかな違いは「近日点の進動（または前進）」と呼ばれます。
R ≪ αのとき、量rとRは実質的に同一です。シュヴァルツシルトはその論文でその点を指摘しています（翻訳版の方が読みやすいです）：
異なる符号の選択を除いて、シュヴァルツシルトまたはヒルベルトの解（およびアインシュタインが提案した線形化された解）は類似しています：これらは惑星天文学に関してほぼ同じ結果をもたらします。したがって、ヒルベルトの半径変数rまたはシュヴァルツシルトの変数Rのどちらを選ぶかに関係なく、理論的結果は「現実」と一致しています。
太陽の半径は70万キロメートルです。シュヴァルツシルトはその長さα（後に「シュヴァルツシルト半径」と呼ばれる）を計算し、それは3キロメートルで、星の内部に非常に近くに位置しています。この球体を点として扱うことは、400万分の1の近似です。
また、今では中性子星などの物体で問題が生じるという点も注目すべきです。これは「距離変数」がシュヴァルツシルト半径と比べて無視できないほど大きくなるためです。では、どの変数を選ぶべきですか：ヒルベルトのものか、シュヴァルツシルトのものか？
理論家たちはこの外部解に物理的な性質を与えることを提案し、それを「ブラックホール」と呼ばれる物体として説明しました。幾何学的には、答えを出す必要があります：
– シュヴァルツシルトの表現では、r = 0で何が起こるか – ヒルベルトの表現では、R < α（「ブラックホールの内部」）で何が起こるか。私は後者の質問がシュヴァルツシルトの表現では生じないことを強調します：r = αを「越えて」落下する質量点について考える必要はありません。なぜなら、そのような「内部」は存在しないからです。
一方、ヒルベルトの表現では、この「内部」が本当に存在する場合、それは非常に奇妙です：メトリックの符号が変化し、現代の理論家たちは「中では、rが時間になり、tが半径になる」と言います。
この査読済み論文では：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 March 2015).
.
Modern Physics Letters A .
30 (9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
私は別の座標の選択を示し、シュヴァルツシルト解から次の変数変換によって導かれました：
これにより、以下の形での計量解の提示につながる：
これは変数の値に関わらず正則であるが、原点において第一項がゼロになるという点を除く。この計量が表す幾何学は、PT対称性を持つ二つのミンコフスキー時空を接続する経路として解釈される。接続は、周囲が2παの喉状球面を通じて行われる。この球面上では行列式がゼロとなり、この表面を越える際に空間と時間の矢印が二重に反転することを反映している。
シュワルツシルトが場の方程式の解として与えた計量の形（t, r, θ, φ）を用いると、初期には喉状球面が円錐の頂点のように単一の点に縮退しているように思える。しかし、これはこの量に「次元的な」値を与えることになり、実際には「空間のマーカー」にすぎない。微分幾何学における空間マーカーとは、ある点を特定するための単なる数値にすぎない。真の距離、意味を持つ実際の長さは、計量によって計算されたもののみである。このような長さをsで表すと、二つの異なる座標系が同じ経路を記述している場合でも、座標系の選択に関わらず不変となる。
解の球対称性により、（t, r, φ）の三つの座標を固定し、θ座標に沿って2π回転させることができる。ヒルベルトの表現における喉状球面はR = αに対応する。t = 定数、φ = 定数であり、θに沿ってこの回転を行うと、結果として喉状球面上の大円の周囲2παが得られる。
自分の表現（t, r, θ, φ）で同じ操作を繰り返すと、喉状球面はρ = 0に対応する。θ座標に沿った回転により、やはり2παの値が得られる。
もっと驚くべきことは、シュワルツシルトの表現で喉状球面がr = 0に対応する場合でも、この長さ2παが得られることである！これは非常に混乱を招く。なぜなら、「r = 0の点の周りを回る」という操作が非ゼロの長さを与えるからである。これは、r…が点ではないからである。微分幾何学と計量による物体表現の不思議な側面である。
この思考実験により、rを「次元的な」長さとして考えることをやめなければならないことが理解できるだろう。rを「半径距離」として想像するからこそ、混乱が生じているのである。
実際には、「次元」という言葉そのものが混乱を引き起こしている。代わりに「この幾何学的対象の点を次元の集合で位置づける」と言う代わりに、次のようにすべきである：
— この幾何学的対象の点を空間マーカーを使って位置づける：
（x₀, x₁, x₂, x₃）だが、文字xさえも誤解を招く可能性がある。rが中心点への「変数的な半径距離」とみなされるという誤った考えを完全に排除するためには、空間マーカーはβやζのような中立的なギリシャ文字で定義すべきである：
（ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃）計量のこの一般的概念に戻ろう。数学、幾何学において、計量とは何か？
地球は平らではない。球体である。これは地図作成者にとって問題となる。地球儀上で大陸を観察すれば問題ないが、曲がった世界を平らな紙の上にマッピングするにはどうすればよいだろうか？複数の地図が作られ、それらをアトラスとしてまとめる。隣接する地図は、経線と緯線の対応を調整することで関連づけられる。
より一般的に、このような技術を用いて任意の表面をマッピングすることが可能である。たとえば車体など。このアトラスの各平面要素は、局所的な計量記述に対応する。数学者や幾何学者は、この概念を非ユークリッド要素からなるアトラスにまで拡張した。紙が存在しない世界を想像してみよう。人々が球面の一部として形作られた乾燥した葉を使って、重ね合わせて奇妙な曲がったアトラスを作り出す。このような方法で、段階的にあらゆるもの（包括的に計画も含む）をマッピングできる。
このような技術には、マッピング対象のトポロジーに関する制約はない。
シュワルツシルト計量によって記述される対象を「極座標」で形状化することを選択することは、そのトポロジーについて強い仮定を暗黙のうちに含んでいる。
以下では、計量解が自らのトポロジーを内包しており、我々はそれを自由に選ぶことはできないという考えが提示される。そこで、アトラスを構成する従来の地図アプローチを完全に放棄し、対象はその計量のみによって記述されると考える。座標系は「うまく合う」もの、すなわち計量解に暗黙的に関連するトポロジーと整合性を持つものである。共通の鍵となるのは：
– 単位長さsはどこでも実数でなければならない。
– そしてその帰結：計量の符号は不変でなければならない。
このようなコメントと提案に基づき、ブラックホールの古典的モデル、複数の病理を抱えるモデルに疑問を呈することができる。これは、ヒルベルトがこの幾何学をどのように解釈したかという点の結果ではないだろうか？「ブラックホール内部」という幻想的な概念を、クルスカルの解析接続を通じてアクセス可能とするが、マルダセナはその講演で「これは解を全時空に拡張することを可能にする」と述べた。実際、ブラックホール研究者たちは、彼らが研究する対象のトポロジーについて先入観を持っている。それはなぜか？
トポロジー的に、2次元の表面を考える。閉曲線を描き、その周囲をゼロにまで小さくできるか試みる。二つのシナリオがある：
– 周囲をゼロまで小さくできる。
– ある最小限に達する。
これは以下の図で示される：
この表面に住む2次元の住民が私たちに尋ねたとしよう：
— 円の中心には何があるのか？
私たちは、その問いは意味を持たない、なぜならこれらの円には中心がないからとしか答えられない。
3次元世界に移ると、このような収縮性は、球面の面積をゼロまで小さくすることで変形できる可能性として現れる：
この操作が成功すれば、その球面には「内部」と「中心」がある。
しかし3次元空間は必ずしも収縮可能ではない。もし収縮可能でなければ、ある領域（2次元球面のトポロジーを持つ表面）では、同心の隣接する球面（たとえば玉ねぎを剥くように）による空間の断層が最小面積に達する。その後、さらに断層を続けると、表面は再び増大する。なぜなら、ちょうど越えた最小面積は実際には喉状球面だったからである。
これは3次元では描けないが、前述の2次元図を参照すれば、右側の最小値が赤色の喉状円（throat circle）であることがわかる。このすべては3次元超曲面や任意次元の超曲面に拡張できる。
マルダセナは、「クルスカルが解を全時空に拡張することを可能にしたジョゼフ・クルスカルを称賛するが、彼（そして彼より前の人々数千人）は、彼が話している4次元超曲面のトポロジーについて無意識のうちに仮定をしていることに気づいていない。その結果、計量の符号が変化し、単位長さが純虚数に変わってしまう。これは形式主義が提供する「答え」を単に表しているだけである：
— おっと！あなたは超曲面の外側にいますよ！
実際、彼はそもそも存在しない時空の一部を探求しようとしているのである。まるで、トーラスの接平面の性質を研究するために、その軸の近くで解析接続を構築する幾何学者のように…あるいは、アリスの不思議な国で、車輪の軸の近くにあるタイヤの内側チューブにパッチを貼ろうとする、あるマッド・メカニックのようにである。私が正しいなら、何十年もの間、存在しない対象を記述するために、どれほど多くの紙、インク、そして灰色の脳細胞（量子的な灰色の脳細胞を含む）が消費されたのか。それによって生じるすべての結果、たとえば「中心特異点」の性質などである！なぜこのことが1世紀にわたりまったく気づかれなかったのか、不思議である。科学史家がその答えを教えてくれることを願う。おそらく、ヒルベルトが虚時間という想像力を使ったことで、空間的符号（– + + +）を暗示したため、その後の誰もが単位長さの二乗の符号が変わることに気付かなかったのかもしれない。しかし、「これは単なる『規約』の問題」と言うのは誤りである。
一方、シュワルツシルト（およびアインシュタイン）は、時間的符号（+ – – –）を採用していたことがシュワルツシルトの論文から明らかである：
逆に、角度に関する項の符号を固定することで、ヒルベルトは暗黙のうちに符号を（– + + +）に固定している。
これらの問題を探求したい物理学者、学生、エンジニアは、このページで引用されたさまざまな論文の英語訳を下記からダウンロードできる。これらには1000年前にドイツ語で最初に発表された歴史的論文も含まれている。現代のブラックホール研究者たちは、おそらくそれらを読んだことがなく、観測のない天体物理学を数学の厳密性の欠如から生み出しているように見える。
• 歴史的論文：
シュワルツシルト、K.（1916年1月13日）。
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Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 189–196 英語訳：
アントーシ、S.；ロインジャ、A.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における質量点の重力場について」。
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シュワルツシルト、K.（1916年2月24日）。
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916 . 424–434 英語訳：
アントーシ、S.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における非圧縮性流体の球体の重力場について」。
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フランク、Ph.（1916年）『数学の進歩年報』。
46 : 1296。
英語訳：
アントーシ、S.（2003年）。「付録A：フランクによるシュワルツシルトの『質量点』論文のレビュー」『デイヴィッド・ヒルベルトとシュワルツシルト解の起源』。
気象学・地球物理学流体力学。ブレーメン：ウィルフリード・シュローダー、サイエンス版。
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ドロステ、J.（1917年）。
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Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A の論文集。
19 (I): 197-215。（1916年5月27日、KNAW会議でH. A. ローレンツ教授が通報）。
再版（2002年）『一般相対性理論と重力』。
34 (9): 1545–1563。doi:10.1023/A:102074732。
ヴェイル、H.（1917年）。
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Annalen der Physik。
54 (18): 117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。
英語訳：
ノイゲバウアー、G.；ペトロフ、D.（2012年3月）。
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一般相対性理論と重力。
44 (3): 779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
ヒルベルト、D.（1916年12月23日）。
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.) . 53–76。
英語訳：
レン、J.（2007年）。
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『一般相対性理論の起源』第4巻：古典物理学の黄昏における重力：数学の約束。スプリンガー。1017–1038。
• より深く：
アブラムス、L. S.（1979年11月）。「点質量に対する代替時空」。
物理レビューD。
20 (10): 2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 訂正：
アブラムス、L. S.（1980年4月）。「誤植：点質量に対する代替時空」。
物理レビューD。
21 (8): 2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
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アブラムス、L. S.（2001年）。「ブラックホール：ヒルベルトの誤りの遺産」。
カナダ物理学会誌 67 (9): 919–926。doi:10.1139/p89-158。
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アントーシ、S.；ライスバー、D.-E.（2001年）。「シュワルツシルトの元の解の再検討」。
天文学的通信。
322 (2): 137–142。
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アントーシ、S.（2003年）。「デイヴィッド・ヒルベルトとシュワルツシルト解の起源」。
気象学・地球物理学流体力学。ブレーメン：ウィルフリード・シュローダー、サイエンス版。
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ペティ、J.-P.；ダゴスティーニ、G.（2015年3月21日）。
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現代物理学研究誌A。
30 (9): 1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
ペティ、J.-P.（2017年）。
（YouTubeプレイリスト、英語字幕付き）。
またこちらも参照。
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