군에 대한 새로운 공리체계

새로운 군의 공리 체계 **

...수리외는 오래된 아크의 아파트에 산다. 거리로 나가는 문은 매우 아름답다. 입구에는 아주 특이한 차량이 주차되어 있다. 바로 옛날식 인부용 휠체어인데, 주인 여인, 아마도 고고학자인 그녀의 소유물이다. 이 휠체어는 벽에 기대어 있다. 이제 두 명의 인부를 찾아서 나무 기둥 두 개를 고리에 끼우고 타면 산책을 즐길 수 있다. 창문은 유리로 되어 있다. 옆면의 유리는 손잡이가 아니라 가죽 끈을 조절해 내릴 수 있는데, 이것은 내가 어릴 적 기차의 객실에서 본 방식과 같다.

...이 모든 것이 꿈꾸게 만든다. 나는 처음으로 휠체어를 타본 적이 없다는 것을 깨닫는다. 실업이 만연한 시대에, 오래된 아크에서 정기적인 휠체어 운행을 시작하는 사람들이 생길 수 있을 것이라 확신한다. 단지 옛날 휠체어를 모방한 차량을 만들면 된다. 그리 어렵지 않을 것이다. 그다음에는 수놓은 옷과 가발 두 쌍을 구비하면 된다. 경로는 미라보 광장이면 충분하다. 이후에는 꿈을 꾸고, 약간의 상상력을 발휘하면 된다.

...장-마리 는 자신의 넓은 아파트에서 고양이 피움과 함께 혼자 산다. 아파트는 금박과 나무 장식으로 가득 차 있다. 피움은 정말 귀엽다. 그러나 나는 고양이에 별로 매력을 느끼지 못한다. 다만 이 고양이는 아주 친절하고 애정이 넘친다.

우리는 일반적으로 위층의 주방에서 일한다. 지붕 아래 작은 방인데, 아래층의 거대한 방들과는 대비되는 좁은 공간이다. 장-마리 는 항상 내게 그가 가장 좋아하는 음료인 페르난 브랑카를 마시게 하려고 애쓴다. 이 음료는 아티초크를 기반으로 하며, 나는 정말로 싫어하지만, 그는 이 음료에 모든 효능을 부여한다.

...도시를 돌아다닐 때 장-마리는 절대 떼어내지 않는 GPS를 항상 가지고 다닌다. 실제로, 우리가 걷는 길에서 4만 킬로미터 떨어진 위성에 의해 안내되는 모습은 꽤 매력적이다. 더 나은 수신을 위해 수리외는 거리의 중심선을 따라 걷고, 액정 화면을 집중해서 바라본다. 효과는 있지만, 여전히 다소 위험하다.

...우리 둘은 정말 즐겁게 지낸다. 12월 어느 밤, 나는 그를 찾아가서 다음과 같은 대화를 나누었다.

• 나는 너에게 군에 대해 말해볼까. 공리들을 기억하니?

• 네, 총 여섯 개 있지. 다음과 같다:

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ... 가 존재한다.

2 - 집합의 두 원소를 결합할 수 있는 내부 연산 o("원")이 존재한다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 어떤 원소 e가 존재하여 다음을 만족한다:

a o e = e o a = a

5 - 집합의 모든 원소 a에 대해, 다음을 만족하는 역원 a⁻¹이 존재한다:

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

이게 다섯 개?

• 결국 다섯 개, 네 개, 아니면 하나일 수도 있다. 공리의 번호는 절대적인 규칙이 없다. 오히려 공리 1과 2를 하나로 합칠 수도 있다:

• 집합 E에 속한 원소 a, b, c 등이 존재하며, 이 집합은 다음을 만족하는 내부 연산을 갖는다:

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

이는 동치이다.

• 좋아, 다섯 개든 네 개든 상관없어. 그런데 어디로 가려는 거야?

• 내가 4번과 5번 공리, 즉 항등원과 역원을 정의하는 공리를 제거하고, 샌드위치 공리로 대체할 거야. 전체 공리는 다음과 같다:

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ... 가 존재한다.

2 - 집합의 두 원소를 결합할 수 있는 내부 연산 o("원")이 존재한다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 집합 E에 속한 세 원소 a, b, c가 주어졌을 때,

다음 방정식이 유일한 해 y를 가진다:

a o y o b = c

이것을 내가 '샌드위치 공리'라 부른다. 여기서 '햄'인 y는 원소 a와 b 사이에 끼워지고, c가 전체 샌드위치가 된다. 이 공리는 다음과 같은 의미를 가진다:

항상 샌드위치에서 햄을 꺼낼 수 있다.

그리고 나는 이 공리들이 군을 정의한다고 말할 수 있으며, 이전 공리들과 동치임을 증명한다.

• 이 유일한 해 y는 내부 연산과 결합법칙이 성립하므로 집합 E의 원소이다.

• 물론 그렇다. 말할 필요 없이.

• 그러나 말해두는 게 더 좋다. 어떻게 해서 항등원과 역원에 대한 두 공리를 다시 찾을지 모르겠지만, 어쨌든 이 아이디어에 이르게 된 이유는 이해한다.

• 나는 "이게 왜 필요할까?" 라고 생각했다.

• 정확히 그렇다. 항등원이 왜 필요할까? 그 자체로는 "내가 집합 E와 항등원을 가졌을 때, 이 집합의 모든 원소를 이 항등원과 조합해도 그 원소 그대로가 나온다"는 의미일 뿐이다. 내게는 전혀 도움이 안 된다. 마찬가지로 역원 자체가 왜 필요할까? 군에서 계산을 할 때, 어떤 물체를 다루더라도, 오른쪽 또는 왼쪽으로 원소나 그 역원을 곱해 a o a⁻¹ 또는 a⁻¹ o a를 만들어 e로 바꾸고, b o e 또는 e o b를 만들어 b로 바꾸는 식으로 항상 해결한다. 네 샌드위치 공리는 '기능적'이다.

• 원한다면. 샌드위치 공리에서 도출되는 정리로 넘어가자. 첫 번째 정리는 다음과 같다:

I - 어떤 원소 e가 존재하여, 자신과의 연산 결과가 자신과 동일하다:

e = e o e

II - 이 항등원은 유일하다.

증명:

샌드위치 공리를 기반으로 한다. 방정식

a o y o b = c

는 유일한 해 y를 가진다.

이것은 b = c = a일 때도 성립하므로,

a o y o a = a

도 유일한 해 y를 가진다. 이제 오른쪽에 y를 곱한다:

a o y o a o y = a o y

여기서 a o y = e 라고 하자.

...이는 집합의 원소이며, a와 y가 집합에 속하고 연산이 내부적이므로 성립한다. 따라서 다음을 만족하는 집합의 원소가 존재한다:

e o e = e

...정리 I는 증명되었다. 이제 정리 II의 유일성으로 넘어가자. 만약 유일성이 없다면, 다음과 같은 다른 원소 f가 존재할 것이다:

f o f = f

다음과 같이 한다:

e o e = e

오른쪽에 f를 곱한다:

e o e o f = e o f

다시 오른쪽에 e를 곱한다:

e o e o f o e = e o f o e

결합법칙을 사용한다:

e o (e o f) o e = e o f o e

이 두 식은 모두 샌드위치이다. 이를 각각 다음과 같이 정의한다:

p = e o (e o f)

q = e o f o e

샌드위치 공리에 따라, '햄'을 꺼낼 수 있다. 즉, (e o f)와 f의 값을 계산할 수 있으며, p = q이므로 두 값은 같다. 따라서:

(e o f) = f

다시 두 번째 원소 f에 대한 가정에서 시작하자:

f o f = f

오른쪽에 e를 두 번 곱한다. 왼쪽에 두 번 곱한다:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

결합법칙을 사용한다:

e o (e o f) o f = e o e o f

다시 한 번 샌드위치 공리를 사용하면:

e o f = e

따라서:

e = f

정리 III: 이 원소 e를 '자신의 제곱과 동일한' 원소로 취할 때, 다음이 성립한다:

a o e = a

증명:

항상 샌드위치 공리를 사용한다. e의 정의부터 시작하자:

e o e = e

오른쪽에 차례로 a와 e를 곱한다:

e o e o a o e = e o a o e

결합법칙을 적용한다:

e o (e o a) o e = e o a o e

따라서:

e o a = a

다시 시작하자:

e o e = e

왼쪽에 차례로 a와 e를 곱한다:

e o a o e o e = e o a o e

결합법칙을 적용한다:

e o (a o e) o e = e o a o e

따라서:

a o e = a

정리 III는 증명되었다.

이제 정리 IV로 넘어가자

(역원의 존재, a⁻¹로 표기)

명제: 집합의 원소가 주어졌을 때, 다음 방정식의 유일한 해 y가 존재한다:

a o y o a = a

이 해를 a⁻¹라 표기하고, 이를 a의 역원이라 부른다. 이 원소는 다음 성질을 만족한다:

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

증명:

이 원소의 존재와 유일성은 샌드위치 공리의 직접적인 결과이다. 다음과 같이 표현할 수 있다:

만약 빵 조각이 서로 같고, 샌드위치와도 같다면, 햄은 빵 조각(또는 샌드위치)의 역원이 된다.

a o y o a = a

결합법칙을 두 가지 방식으로 적용할 수 있다:

(a o y) o a = a

a o (y o a) = a

그리고 우리는 다음을 알고 있다:

e o a = a

a o e = a

따라서 해 y는 다음을 만족한다:

a o y = e

y o a = e

이 해가 유일함을 보이자. 만약 그렇지 않다면, 다른 해 z가 존재할 것이다:

a o z = e

z o a = e

첫 번째 방정식의 양변에 왼쪽으로 y를 곱한다:

y o a o z = y o e

(y o a) o z = y

그런데 y o a = e 이므로:

z = y

이 해를 a⁻¹이라 부르며, 유일한 방정식의 해로 정의한다:

a o a⁻¹ o a = a

따라서 새로운 공리 체계는 기존의 공리 체계와 동일한 성질을 가진다.

따라서 군은 이 새로운 공리 체계를 통해 정의할 수 있다:

군의 정의

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ... 가 존재한다.

2 - 집합의 두 원소를 결합할 수 있는 내부 연산 o("원")이 존재한다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 집합 E에 속한 세 원소 a, b, c가 주어졌을 때,

다음 방정식이 유일한 해 y를 가진다:

a o y o b = c

만약 집합 E의 원소들이 내부 연산을 갖추고 이 네 가지 공리를 만족한다면, 나는 그것들이 군을 이룬다고 말한다.

정리: 항등원은 자기 자신과 역원이다. 이 새로운 항등원 정의는 단 하나의 방정식으로 이루어져 있으며, 이 성질에 대한 다른 증명 방식을 가능하게 한다.

e o e = e

이는 특별한 원소 e의 정의이다. 그러나 샌드위치 공리에 의해 이 방정식은 역원의 성질(정의가 아니라)과 일치하게 된다.

다른 정리: 역원의 역원은 원래의 원소와 같다:

(a⁻¹)⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

따라서 a는 a⁻¹의 역원이다. 이로부터 성질이 도출된다.

다음 성질을 증명하자:

(a o b)⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

다음과 같이 계산한다:

a o b o b⁻¹ o a⁻¹ 와 b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

이 두 값이 모두 e와 같음을 보이자.

a o (b o b⁻¹) o a⁻¹ = a o e o a⁻¹ = a o a⁻¹ = e

다른 식도 동일하게 증명된다.

• 이것은 군 개념에 대한 다른 접근 방식이다.

• 군의 존재론.

• 원한다면.

• 그러나 무언가 이 아이디어가 풍부한 결과를 낳을 것 같다는 느낌이 든다.

• 이제 모든 것을 잊어버리자. 샌드위치 공리조차도. 집합 E가 결합법칙을 만족하는 내부 연산 o를 갖는다고 가정하자. 이 집합 내에 모든 다른 원소와 조합했을 때 항등원의 역할을 하는 원소가 존재한다고 하자:

a o e = e o a = a

이 원소는 유일한가?

• 존재한다면 반드시 유일하다. 이는 증명할 수 있다.

• 아, 맞다.

• 나는 두 원소 a와 b가 다음 조건을 만족할 때, 서로 역원 관계에 있다고 말하겠다:

a o b = b o a = e

a가 주어졌을 때, b는 a의 역원이다. 나는 만약 집합을 역원을 가진 원소들로 제한하면, 그 부분집합이 군을 이룬다고 말한다. 이는 군을 '구성'하는 한 가지 방법이다. 즉, 집합에서 이 성질을 만족하는 원소들을 선택하고, 이것이 '충분하다'고 말할 수 있다. 즉, 이 부분집합이 군을 이룬다는 것을 의미한다.

이 성질이 내부적임을 보여야 한다.

• 무슨 뜻이야?

• 두 원소 a와 a'가 이 성질을 만족한다고 하자. 즉:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a는 역원 b를 가진다.

a'는 역원 b'를 가진다. 따라서 이들은 관련된 부분집합에 속한다. 이제 a o a'가 또한 역원을 가진다는 것을 보여야 한다.

이 '원' 기호를 제거하자. 무거운 기호다.

a' o b' = e

좌측에 a를, 우측에 b를 곱한다:

a a' b' b = a e b = a b = e

따라서:

(a a') (b' b) = e

다시 시작하자:

b o a = e

좌측에 b'를, 우측에 a'를 곱한다:

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

(b' b)(a a') = e

따라서, 역원을 가진 원소 a와 a'를 조합하여 얻은 원소 역시 역원을 가진다.

• 이제 이 부분집합이 실제로 군을 이룬다는 것을 보여야 한다.

• 이를 위해, 이 부분집합이 샌드위치 공리를 만족함을 보이겠다. 즉, 다음이 유일한 해 y를 가진다:

a o y o b = c

• 이해했다. 공리적으로, 방금 전과 반대로 접근한다. 이전에는 샌드위치 공리를 주고, 그로부터 역원의 존재를 도출했다. 지금은 집합의 모든 원소가 역원을 가진다고 가정하고, 이 성질을 이용해 샌드위치 공리를 재구성하려는 것이다.

• 방정식이 유일한 해를 가짐을 보이는 가장 좋은 방법은 그 해를 직접 구성하는 것이다. 위의 방정식을 좌측에 a⁻¹, 우측에 b⁻¹을 곱한다:

a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹

(a⁻¹ a) y (b b⁻¹) = a⁻¹ c b⁻¹

y = a⁻¹ c b⁻¹

• 따라서 y는 방정식:

a o y o b = c

의 해임이 확실하다.

구성된 해를 대입하면:

a (a⁻¹ c b⁻¹) b = c

이 과정에서 괄호를 조작할 수 있으며, 결합법칙을 일반화할 수 있다고 가정한다. 우리는 이전에 (공리 중 하나로) 연산의 시퀀스에서 두 원소를 분리할 수 있다고 가정했다:

a o b o (c o d) = a o (b o c) o d = (a o b) o c o d = (a o b) o (c o d)

이제 세 원소를 괄호 안에 넣는 것이 허용됨을 보여야 하지만, 증명 없이 이를 받아들이자.

응용:

...실수 집합에 곱셈 x를 내부 연산으로 두자. 이 연산은 내부적이지만, 이 새로운 공리 체계에 따르면 군이 아니다. 왜냐하면 항등원을 정의하는 방정식:

e o e = e

가 두 해를 가지기 때문이다:

e = +1 및 e = -1

...이전의 구성 방식을 고려하자. 집합(실수)과 결합법칙을 만족하는 내부 연산(곱셈)을 가진다. 이 집합은 항등원 1을 가진다. 그러나 이는 다음 방정식의 해로서 정의되지 않는다:

e o e = e

대신, 모든 다른 원소와 조합했을 때 자신을 그대로 돌려주는 원소로 정의된다. 즉, 고전적인 정의:

모든 a가 집합 E에 속할 때,

e o a = a o e = a

이 성립한다.

고전적인 역원 정의에서 시작하자:

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

...이전에 역원을 가진 원소들의 부분집합이 군을 이룬다는 것을 보였다. 따라서 0을 제외한 실수는 군을 이룬다.

정사각형 행렬(n,n)을 생각해보자. 이들은 항등원을 가진다:

대각선에는 1이 있고, 나머지는 0이다.

역행렬을 가진 행렬들은 군을 이루며, 이를 선형군 GL(n)이라 부른다.

• 나는 이 모든 것이 마음에 든다.

• 흠... 이것은 고전적인 공리 체계의 변형일 뿐이다. 나는 이 내용을 일주일 전 그레노블에서 열린 인식론 회의에서 발표했다.

이어서