표면을 R³에 잠기게 하는 것은 접평면이 연속적이며, 자기교차 집합이 존재하지 않는 표현이다.

R³에 표면을 매장하는 것은 접선이 연속적이며 자가교차 집합이 존재하지 않는 표현을 의미한다. 구와 토러스는 R³에 매장될 수 있다.

R³에 표면을 침입시키는 것은 접선이 여전히 연속적이지만, 자가교차 집합이 존재하는 경우를 의미한다. 예: 보이 표면, 클라인 병.

매장은 항상 침입으로 변환할 수 있다. 구를 생각해 보자. 예를 들어 반대편의 두 점(극점)을 내부에서 접촉시키는 것이다. 이 "무형의" 침입 세계에서는 표면이 스스로를 통과할 수 있다. 이때 자가교차 곡선(여기서는 원)이 생성된다.

그러나 반대는 자동으로 가능하지는 않다. 예를 들어, 실수 평면은 R³에 매장될 수 없으며, 오직 침입될 수만 있다. 이 침입의 전형적인 형태는 보이 표면으로, 삼중 나선 형태의 자가교차 집합을 가지며, 세 겹의 면이 교차하는 삼중점이 있다. 그림 29a 및 29b 참조. 클라인 병 역시 마찬가지로, 최소한의 자가교차는 닫힌 곡선이다. Topologicon, 46페이지 참조. 매장은 자가교차 집합이 비어 있는 침입의 특수한 경우로 간주할 수 있다. 콩기둥점이 나타나는 표현은 접선의 연속성에 비추어 보면 특이점이므로 침입이 아니다. 이러한 표현을 R³에서 물체의 절단이라고 부르자. R³에서 표면의 절단은 거의 어디서나 침입처럼 보일 수 있으며, 접선이 연속적이지만 유한 개의 점을 제외하고는 연속성을 유지한다. 그러나 이는 정확한 정의가 아니다. 접선의 불연속성은 여러 가지 방식으로 도입될 수 있기 때문이다. 우리는 나중에 불연속성 문제를 다시 다룰 것이다.

표면과 더 일반적으로 기하학적 객체들—점, 직선, 폐곡선, "경계가 있는 곡선"(선분 또는 "b1 구"), 원판 등—은 언어의 단어와 같다. 우리는 Topologicon에서(또는 cd-Lanturlu 참조) 이 모든 요소들을 풍부하게 사용하여, 문법에 따라 단어를 만들고 문장을 구성했다. 이러한 객체들을 구성물이라고 부른다.

어떤 변환은 진정한 기하학적 연산자이다. 본문에서는 콩기둥점의 생성 및 소멸 작용을 설명하였다. 이를 더 자세히 살펴보자.

기본적인 객체는 우리가 '감마 원통'이라 부를 수 있는 것이다.

이 객체는 자가교차선을 가지며, 위쪽 튜브 통로를 조여서 두 개의 콩기둥점을 생성할 수 있다.

조여서 시작하는 작업을 하자:

표면의 단면은 항상 '감마' 형태이지만, 통로가 좁아지는 상태를 나타낸다. 특이점 주변을 분석하는 것은 항상 어려운 일이다. 여러 가지 형태의 특이점에 해당하는 다양한 그림이 있다.

점 G는 두 콩기둥점이 합쳐진 상태를 나타낸다. 영어권에서는 모든 특이점을 'cusps'라고 부른다. 사전 번역: 뿔, 꼭짓점. 그러나 뿔의 꼭짓점은 원뿔형 점이다. Larousse: cuspide(콩기둥점)는 라틴어 'cuspida'에서 유래한 길고 날카로운 뾰족한 끝. 합쳐진 특이점은 다른 형태를 취할 수 있다. 예를 들어:

횡단면은 동일한 '뒤집힌 V' 형태이지만, 이는 동일한 객체나 동일한 특이점이 아니다. 그럼에도 불구하고, 이 그림들 사이를 전환할 수 있다:

여기서 두 콩기둥점 C1과 C2가 있다. 수직 단면은 바뀌었다(오른쪽에 표시된 단면도, 위에 절단면이 있다).

이 변화는 'C' 변화이다.

세부 사항:

나는 친구에게 전화로 콩기둥점이 무엇인지 설명했다.

• 말하자면, 말 위에 올라탔다고 상상해 보자. 갑자기 다리를 이용해 말을 눌러, 두 다리-선분이 서로 접촉하게 만든다. 말의 표면이 변한다. 오른쪽 엉덩이가 왼쪽 어깨와 연결되고, 왼쪽 엉덩이가 오른쪽 어깨와 연결된다.

• 그런데 콩기둥점은 어디에 있나?

• 네가 그 위에 앉아 있는 곳이다.

표면의 겹침이 바뀌는 현상은 수술이라고 부른다. 아래에 설명된 작용은 포물선 원통(지금까지 말한 '말')을 이용해 콩기둥점을 만드는 것이다:

말을 눌렀을 때:

위쪽에 콩기둥점이 있다.

선분을 따라 표면을 눌러서 콩기둥점을 만들고, 겹침을 바꾸는 수술을 통해 얻은 콩기둥점은, 빗자루로 구를 조여서 구를 크로스캡(프랑스어로는 '크로스캡 구')으로 바꾸는 방법을 이해하는 데 도움이 된다.

따라서 빗자루는 구를 단면이 한쪽인 표면으로 바꾸는 가장 간단한 도구가 된다.

다음은 크로스캡이다:

간단한 부록: 크로스캡을 어떻게 '격자화'할 수 있는가? 다각형 표현 중 하나에서 시작할 수 있다:

이로부터 콩기둥점 근처의 격자 구조를 유도할 수 있다:

그렇다면 빗자루 한 번으로 양면 표면이 자동으로 단면 표면이 되는가? 아니다. 아래 그림을 보라:

여기서는 두 자루 사이에 구를 조여서 만든 것이다. 이 상태는 여전히 양면 표면이다. 이를 칠해보면 알 수 있다. 크로스캡은 단면이므로 두 가지 색을 사용할 수 없지만, 이 경우는 가능하다:

다른 시점:

이렇게 구성된 구는 외부의 반쪽과 내부의 반쪽을 동시에 보여준다. 이 객체를 잘 보이지 않는다면, 다각형 표현을 보자:

이러한 다각형 표현을 마주하면, '수축 가능한 셀'로 분해하는 방법(See Topologicon, cd-Lanturlu 참조)을 적용하여 오일러-포앵카레 특성치를 계산해 보고 싶어진다. 구(단순한 정육면체)나 토러스의 다각형 표현은 특성치를 계산하는 데 도움이 된다. 첫 번째는 2, 두 번째는 0이다. 부록의 47페이지에서는 '보이 큐브'의 조립도가 나와 있다. 여기서는 모서리가 표현되어 있다. 이 조립은 경량 합금으로 된 '레인홀드 사각형 프로파일'을 사용해 가능하다. 이는 선반을 만들 때 사용하는 재료이다. 사각형 튜브를 가장 깔끔하게 톱질한 후 플라스틱 부품으로 조립하면 된다. 약 80cm 너비의 물체를 준비하라. 매우 아름답다. 다음 페이지에는 조립을 위한 절단도가 있다. 47페이지에서는 이 객체를 사용해 보이의 특성치를 계산했다: 28개의 꼭짓점, 43개의 모서리, 16개의 면:

28 - 43 + 16 = 1

그러나 이 객체에서 주목할 점은 자가교차 집합이 '존재하지 않는다'는 것이다. 위에 나타난 크로스캡의 다각형 모델은 점, 모서리, 면으로 분해하고 세는 데 적합하지 않다. 스테이너의 로마 표면 역시 마찬가지다. 콩기둥점(영어로는 pinch point, '압착점')을 가진 이 표면들은 자가교차 집합이 다각형 표현의 일부가 되므로, 오직 교육적 목적에만 사용될 뿐이다. 위의 객체는 '한 모서리에 맞붙은 두 개의 사각형 기둥'이다. 마찬가지로 스테이너의 다각형 표현(위 참조)은 '네 개의 정육면체가 모서리로 연결된 것'이다.

1979년의 논문 "구의 뒤집기" (Bernard Morin과 Jean-Pierre Petit, Pour la Science 1979, 동일 시기 Lichnerowicz가 발표한 두 개의 CRAS 노트 포함)을 참조하면, 구와 토러스의 매장 및 침입의 분류를 찾을 수 있다.

기본적인 정리가 언급된다. 미국 수학자 스티븐 스메일(필드상 수상자)의 정리다.

R³에 있는 구 S²의 침입은 오직 하나의 동치류만 존재한다.

물론 구의 매장은 자가교차 집합이 없는 침입의 특수한 경우이다.

구는 양면이다. 표준 구 매장과 그 반대 방향 매장(즉, 앞뒤 뒤집힌 것)을 구분할 수 있다. 스메일의 순수하게 '형식적인' 정리는, 표준 구에서 뒤집힌 구로 이어지는 연속적인 침입의 열을 통해 전환할 수 있음을 의미한다. 스메일은 자신의 정리와 증명에 확신을 가지고 있었지만, 그래픽적인 예시, 즉 구성이 부족했다.

1967년, 앤서니 필립스가 이 변환을 처음으로 구성했다(무한한 구성이 가능하므로, 즉 표준 구에서 반대 매장으로 이어지는 연속적인 침입의 경로가 무수히 많다). 프랑스 수학자이자 5세부터 실명한 모린은 두 번째 버전을 발견했으며, 나는 1975년에 이를 그렸다(Pour la Science 79 논문). 구의 뒤집기와 관련된 토러스의 뒤집기에 대해, 특히 그 단순한 버전은 즉시 유도된다. Morin이 쓴 PLS 논문에서는 토러스의 네 가지 침입 동치류가 언급되며, 이는 Maurice Hirsch, Ioan James, Emery Thomas의 연구에서 유래한다. Pour la Science 79, 그림 12 참조(다시 언급하지 않지만, 향후 논문에서 이 내용을 재검토할 예정이다). 토러스의 침입은 네 개의 '섬', 네 개의 '대륙'으로 구성된다. 같은 대륙 내에서는 연속적인 침입의 열을 연결하여 항해할 수 있으며, 이 작업을 정칙 호모토피라고 부른다. 연속적인 호모토피의 열로 연결된 두 침입은 호모토피적이라고 한다. 토러스의 침입 대륙 사이를 정칙 호모토피로 이동하는 것은 불가능하다. 따라서 네 개의 서로 다른 호모토피 동치류가 존재한다. 이 중 하나의 동치류에는 표준 토러스와 그 반대 방향 매장(즉, '반대 토러스')이 포함된다. 또한, 무한 기호를 그림이 그려진 평면을 포함하는 축을 중심으로 회전시킨 결과나, 숫자 8을 무관하게 회전시킨 결과도 포함된다. 이 객체들이 호모토피적이라는 점이 놀랍다:

PLS 논문에서는 이들 사이를 전환하는 방법을 보여주며, 내가 고안한 '비단순한' 토러스 뒤집기의 한 형태를 사용한다(내가 현재 기억하지 못하는 CRAS 노트 J.P. Petit 참조). 이는 PLS 논문의 47페이지와 47페이지, 또는 Topologicon의 표지에 재현되어 있다. 이 뒤집기는 클라인 병의 이중 피복을 거친다(See Topologicon, 52페이지).

간단한 메모를 덧붙이자. 전혀 상처받지 않고 말이다. 나는 절대 알랭베르 상(수학의 대중화에 기여한 업적을 수상하는 상)을 받지 못했다. 이 문제는 80년대 초에 위원회에서 논의되었고, 포티에의 CSSTI 책임자 크리스티안 브로셰가 내 지원을 열렬히 지지했다. 그러나 다른 위원이 갑자기 단호하게 말했다.

• 페티는 Topologicon, Géométricon, Trou Noir 외에도 다른 만화책도 썼다. '침묵의 벽'이 그것이다(See CD-Lanturlu).

그 후 위원회 구성원들은 무겁게 고개를 끄덕였고, 'JPP' 사례는 최종적으로 폐기되었다. 같은 이유로, 보이 표면이 원래는 과학의 전당에 전시되어 있었지만(그곳에서 산화가 계속되고 있다), 내 이름은 그 옆에 언급되지 않을 것이다. 사실 나는 그 표면의 경선 표현을 타원을 이용해 처음으로 고안했다(이 덕분에 Apéry가 처음으로 암묵 방정식을 발견할 수 있었다).

어떤 책은 연구자의 경력에 지울 수 없는 얼룩이 된다. '침묵의 벽'이 그 예이다. 왜 그런지 스스로 이해하길 바란다. 이 책은 하나님께서 내린 열한 번째 계명을 위반한다:

• 너는 둥글고 날아다니는 것을 연구하지 말라.