보이의 표면의 해석적 표현

f5101 보이 표면의 해석적 표현 J.P. 페티 및 J. 수리오 .

**...**아래는 1981년에 출판된 파리 과학 아카데미의 '보고서'에 게재된, J.P. 페티와 J. 수리오가 서명한 노트의 복제본이다.

**...**이 작업에는 역사가 있다. 1985년 벨랭 출판사에서 '앙셀므 랑투르루의 모험' 시리즈로 나온 내 책 『톱로지콘』이 출간되기 전까지, 전문 서적들 속에서 보이 표면의 표현은 매우 드물었다. 때때로 석고나 닭용 철망으로 만든 모형 사진을 볼 수 있었다. 캘리포니아 대학교 수학과의 찰스 푸는 닭용 철망 분야에서 세계적으로 인정받는 전문가였다. 실제로 그는 베르나르 모린의 구 표면 뒤집기 과정을 묘사한 모형을 만들면서 이 재료를 사용해 큰 금전적 상금을 받았으며, 이후 넬슨 맥스가 이를 디지털화하여 전 세계 수학과에 퍼진 영화로 만들었다.

**...**그러나 나는 닭용 철망이 이러한 고급 과학 주제에는 너무 격이 낮다고 생각했다. 플라스티시안인 막스 소즈와 만나면서, 그는 유연하면서도 단단한 구리선을 정교하게 용접하는 기술을 익혔다. 특히 열을 너무 많이 가하지 않아 재료 내부에 불필요한 응력을 만들지 않도록 주의했다.

**...**내 친구 자크 부리에, 별명은 바셀린은 당시 프로방스 아그의 미술학교 교수였다. 어느 해 그는 내가 외국에 간 한 교수가 대신할 수 있도록 제안했고, 나는 소즈와 함께 시간을 나누며 반시간 강의를 맡았다. 내가 물체를 고안하는 동안, 막스는 그것을 용접했다. 우리 주변을 둘러싼 학생들은 호기심 어린 눈빛으로 우리를 따라 하려 애썼다. 그 해 아그 미술학교의 이 쪽은 마치 수학 표면을 대량 생산하는 공장이 되었다.

**...**만약 당신도 시도하고 싶다면 어렵지 않다. 구리선(직경 약 1.5mm, 최대 2mm) 한 뭉치와 가위 하나만 있으면 된다. 이를 이용해 어떤 표면의 두 종류의 곡선을 표현할 수 있다.

**...**문제는 이 물체를 적절히 형상화하는 것이다. 이를 위해 메리디언과 평행선이 만나는 지점에서 점들을 미끄럽게 움직일 수 있으면 좋다. 좋은 해결책은 단순히 두 금속선을 뜨개질 실로 묶는 것이다. 충분히 단단해 물체가 흔들리지 않게 하지만, 동시에 변형과 조정이 가능하도록 미끄럽게 만들어야 한다.

**...**물체가 수학적으로 원하는 형태에 완전히 부합한다고 판단되면, 은 솔더링을 정교하게 다루는 사람에게 맡기면 된다. 그 사람은 봉지의 금속선을 가열하지 않고도 용접할 수 있어야 하며, 막스는 이 기술을 완벽하게 구사했다.

**...**한 번 나는 보이 표면의 프로토타입을 만들었고, 메리디언과 평행선이 어떻게 배열되어야 하는지 발견했다. 어쩌면 메리디언은 거의 타당한 타원군과 흡사하게 만들 수 있었다.

**...**막스는 이를 정교하게 복제했다. 나는 곧 수리오의 집에 갔다. 그의 아들(물리학 학위를 마치기엔 인내심이 없었을 것)은 아버지의 애플 II로 놀고 있었다. 나는 그에게 말했다.

• 제롬, 순수 수학 논문을 네 이름으로 내고 싶지 않아?

• 어, 왜 안 되겠어? 그걸 위해 누군가를 죽여야 해?

• 누구도 죽이지 않아. 이 물체를 보여줄게. 각도기로 이 타원들을 측정해보고, 이 표면의 반실험적 표현을 만들어보자.

• 어쩌면 해볼 수 있겠네. 주어...

**...**두 날 후, 그는 이미 완성했다. 논문은 파리 과학 아카데미의 '보고서'에 빠르게 받아들여졌고, 우리 두 사람의 이름으로 게재되었다: J.P. 페티와 J. 수리오.

**...**하지만 아버지가 장-마리이고 아들이 제롬이므로, 모든 수학자들은 이 작업이 수리오 아버지와 내가 함께 한 것이라고 확신한다.

**...**컴퓨터를 이용해 간단한 BASIC 프로그램 몇 줄로 표면을 그린 결과, 많은 수학자들이 놀랐다. 그들은 훨씬 더 복잡한 것을 기대했기 때문이다. 이 일은 부정적인 영향을 미쳤다. 수학자 베르나르 모린은 박사 과정 학생인 아페리가 있었다. 아페리의 아버지는 '정수의 세제곱의 합은 무리수이다'라는 놀라운 정리를 발표한 사람이다. 그 외에도...

**...**나는 이를 몰랐다. 우리의 진전은 모린을 매우 불안하게 만들었고, 특히 내가 당시 순진하게 이 방법이 그가 유명하게 만든 '네 귀 있는 표면'을 묘사할 수 있을 것이라고 말했기 때문이다. 이 표면은 푸는의 닭용 철망으로 만들어졌고, 맥스에 의해 디지털화되었으며 등등.

모린은 눈썹을 찌푸리며 말했다.

• 안 돼, 불가능해!

**...**나중에 다시 다뤄보자. 나는 여전히 반대라고 확신한다. 그러나 이 말은 고대의 아르키메데스가 로마 병사에게 외친 유명한 말, "내 원을 만지지 마!"의 반대판이었다.

프랑스어로는 "내 원들을 만지지 마!"라는 뜻이다. 여기서는 오히려 "내 타원들을 만지지 마!"라는 느낌이었다.

**...**그 후 아페리는 내 발견, 즉 보이 표면에 타원형 메리디언 시스템을 도입할 수 있다는 점을 활용하여, 이 물체에 대한 첫 번째 암묵 방정식을 만들었다:

f(x, y, z) = 0

**...**모린은 내 연구가 자신의 작업에 끼어들고 있음을 보고 분노했고, 아페리에게 박사 논문에서 타원 아이디어는 소즈가 발견했다고 명시하도록 강요했다. 막스는 반박하지 않았지만, 사실과 다르다. 증거는 내 지하실에 있다: 내가 막스에게 정리해달라고 가져간 모형이다.

**...**결국 이 모든 일은 꽤 어이없는 일이다. 이 이야기는 수학자들이 물리학자들만큼 뛰어나지 않음을 보여주기 위한 것이다.

**...**폴리테크닉 출신의 콜로나는 합성 이미지 분야의 선구자였으며, 우리 방정식을 전부 사용했지만 그 출처를 언급하지 않았다. 그러나 흥미로운 점이 하나 있다. 만약 당신이 화면에서 보이 표면의 이미지를 본다면, 그것이 '우리 것'이라면 반드시 극 부근에 세 개의 약간의 '접힘'이 나타날 것이다. 방정식 조정의 미흡함이다. 제롬은 급하게 만들었고, 극 근처에 마지막으로 작은 철봉을 더 가열했더라면 좋았을 것이다. 그러나 누구나 여전히 그것을 완성할 수 있다.

**...**보이 표면에 대한 이 이야기는 아직 끝나지 않았다. 보완을 위해 한 인물, 이탈리아의 백만장자 카를로 보니미를 언급해야 한다. 나는 범데스 삼각지대 탐험 중 그를 알게 되었다(그건 또 다른 이야기). 우리는 그의 럭셔리한 요트에서 빠르게 항해하며, 찰스 벨리츠가 책에 언급한 침몰한 피라미드를 찾고 있었다. 우리는 피라미드를 찾지 못했고, 이곳을 떠도는 수많은 상어에게 물릴 뻔했다. 애니스를 보면, 그 '아틀란티스 피라미드'가 캐이 살 발크 해저 산호초 남서쪽, 쿠바 남쪽 50마일 지점에 있었다고 되어 있다.

**...**두 번의 수영과 두 번의 캐비아 저녁 식사 사이에 나는 보니미에게 보이 표면의 대량 제작을 후원해 달라고 제안했다. 그는 아이디어에 마음이 들어서 후속 조치가 있었다. 말하자면, 파리의 과학궁전 수학관에 있는 보이 표면은 보니미가 기부했고, 소즈가 제작했다. 이 재벌은 금으로 만든 대형 모형을 만들고 전시회를 열 계획이었지만, 이후 아무 일도 일어나지 않았다. 그의 장기간 침묵에 놀라 밀라노 사무실에 전화를 걸었다. 안타깝게도 P2 로그 사건에 연루되어 구속되었고, 위상수학에 대한 관심은 영구적으로 훼손되었다.

**...**보이 표면의 이중 겹침(표면의 프로젝티브 평면 P2의 이미지)은 구 S2이다 (『톱로지콘』 참조). 푸는은 두 장의 닭용 철망으로 이 겹침을 만들었고, 이는 전적으로 놀라운 작품이지만, 나는 개인적으로 구리선과 메리디언-평행선 표현 방식을 더 선호한다. 그러나 수학의 순수성에서도 말할 수 있듯:

• 취향과 색깔에 대해 논쟁하지 마라.

**...**노트를 제시하기 전에 마지막 이야기 하나. 푸는은 닭용 철망으로 일곱 개의 모형을 만들었고, 이로 인해 큰 상금을 받았다. 이 모형들은 구 표면 뒤집기의 단계를 보여주었으며, 나중에 웹사이트에 다섯 분 정도만 투자하면 게시할 수 있을 것이다. 이 모형들은 캘리포니아 대학교 수학과 식당 천장에 매달려 있었다.

**...**전 세계의 수학자들이 이 놀라운 시퀀스를 보기 위해 순례를 왔다. 그러나 어느 밤, 이 모형들이 도난당했고, 그 일곱 개의 물체가 어디로 갔는지 아무도 모른다. 누구도 이런 물건을 구입할 수 있었겠는가? 혹시 한 명의 부유한 애호가, 미학과 수학을 동시에 사랑하는 사람이, 이 작업을 자금 지원해 보관실에 감추어 두었을까? 그는 유일하게 이 세계 8대 미라를 볼 수 있는 사람이라며 기뻐했을 것이다. 심지어 그것이 닭용 철망으로 만들어졌더라도 말이다.

**...**푸는 재료를 완벽히 다루었지만, 새로운 시리즈를 만들려는 용기는 없었다.

**...**이미 사이트 초반에 언급했듯이, 움프레르 보이의 삶 자체는 여전히 미스터리다. 그가 자신의 이름을 붙인 표면을 발명한 후, 대학을 떠난 후 실체를 완전히 사라지게 되었다. 힐베르트는 그의 흔적을 찾아내지 못했고, 그가 장례를 치른 장소조차 알려지지 않았다.

**...**수학으로 돌아오자. 아래의 노트는 비교적 쉽게 읽을 수 있다. 공식 1부터 8까지를 이용하면, 깨어 있는 고등학생이라면 매우 아름다운 이미지를 만들고, 절단이 그림 5와 일치함을 확인할 수 있다.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 October 1981) Série 1 - 269
기하학. - 보이 표면의 해석적 표현. Jean-Pierre Petit 및 Jérôme Souriau의 노트, André Lichnérowicz가 제안.

보이 표면에 대한 해석적 표현을 제시하며, 이를 통해 이 표면을 그릴 수 있다.

1. 서론.
**...**1901년 수학자 움프레르 보이(힐베르트의 학생)가 발명한 표면은 수학자들에게 잘 알려져 있다. 이 표면은 구의 뒤집기 과정에서 중심적인 단계로 작용할 수 있다 ( [1] 및 [2] ).

**...**1979년 (J.P.P.)은 금속선으로 만든 모형을 만들었으며, 표면의 메리디언선들이 위치해야 할 점들을 드러냈다. 1980년 조각가 막스 소즈와 함께 한 두 번째 작업에서는, 곡선들이 평면에 놓여 있고 타원과 매우 유사해 보이는 모형을 재구성할 수 있었다. 이러한 모형을 바탕으로, 보이 표면의 위상 구조를 가지며 메리디언선이 유일한 극을 지나는 타원인 표면의 해석적 표현을 만들 수 있을 것 같았다.

2. 타원을 이용한 보이 표면의 생성 방법.

**...**극을 좌표계의 원점에 두자. 이 점에서 표면은 (XOY) 평면과 접한다. 따라서 OZ 축은 3중 대칭축을 갖는다 (그림 1 참조). 메리디언 곡선은 평면 Pm 내에 있는 타원이다. 평면 XOY에서 평면 Pm의 교선을 OX1이라 하자. m을 각 (OX, OX1)이라 하자. 이 평면 Pm 내에서 OX1에 수직인 축 OZ1을 정하자. 그리고 a를 각 (OZ, OZ1)이라 하자.

그림 1 및 그림 2

**...**이 해석적 표현의 첫 번째 매개변수는 각 m이다. 각 a는 m의 함수로 간주할 것이다 (나중에 정의됨). 평면 Pm 내에서 O에서 OX1에 접하는 타원을 그린다 (그림 2 참조). 이 타원의 축은 X1OZ1의 이등분선과 평행하게 한다. 이 타원의 축 길이를 각각 A(m)와 B(m)라 하자. 이 타원 Em은 두 번째 자유 매개변수 q에 의해 생성된다.

**...**요약하면, 표면 위의 점의 좌표 X(m,q), Y(m,q), Z(m,q)를 얻게 된다.

**...**이 반실험적 접근법에서 (J.S.)가 모형을 측정한 결과, a(m), A(m), B(m) 함수에 대한 근사치를 얻을 수 있었다. 이후 Apple-II 컴퓨터로 표면을 그렸고, Z = 상수인 절단면을 얻었다. 이 절단면의 분석을 통해 보이 표면과의 위상적 동일성을 확인할 수 있었다. 그러나 이 과정은 (J.S.)의 수치 실험을 통해, 불필요한 특이점 쌍(첨점 쌍의 출현)을 제거함으로써 가능했다.

**...**우리는 다음과 같은 식을 선택하였다: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - π/3) + 1.98 sin (3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - π/3) - 1.98 sin (3m - π/6)
(3)

**...**좌표계 X1 O Z1에서 타원 Em의 중심 좌표는 다음과 같다: (4)

(5)

**...**동일한 좌표계에서 타원 위의 점의 좌표는 (6)

(7)

그리고 x, y, z 좌표는 다음과 같이 주어진다:

(8)