보이의 표면의 해석적 표현

f5101 보이 표면의 해석적 표현 J.P. 페티와 J. 수리오 .

**...**아래는 1981년에 출판된 파리 과학 아카데미의 회보(CRAS)에 게재된, J.P. 페티와 J. 수리오가 서명한 논문의 복사본이다.

**...**이 작업에는 이야기가 있다. 1985년 벨랭 출판사에서 '앙셀름 랑투르루의 모험' 시리즈로 나온 내 책 『톱로지콘』이 출간되기 전까지, 전문 서적들에서 보이 표면의 표현은 매우 드물었다. 때때로 석고나 닭용 철망으로 만든 모형의 사진을 볼 수 있었을 뿐이다. 캘리포니아 대학교의 수학과 교수인 찰스 푸는 닭용 철망 분야에서 세계 최고의 전문가였다. 실제로 그는 베르나르 무린이 제안한 구의 뒤집기 과정을 묘사하는 모형들을 철망으로 만들면서 상당한 금전적 보상을 받았다. 이 모형들은 나중에 네لس턴 맥스에 의해 디지털화되어 전 세계 수학과 곳곳에 퍼져 있는 영화로 변환되었다.

**...**하지만 나는 닭용 철망이 고급 과학 주제에 어울리는 고귀한 재료라고 보지 않는다. 플라스티시안인 막스 소즈를 알게 되면서, 나는 금속선을 빛나는 구리선으로 만들고, 유연하면서도 단단한 특성을 지닌 이 선을 정교하게 용접하는 기술을 익혔다. 그는 과도한 가열을 피해 재료 내부에 불필요한 응력을 발생시키지 않도록 주의 깊게 작업했다.

**...**내 친구 자크 부리에, 즉 바셀린은 아시 엔 프로방스 미술학교 교수였다. 어느 해 그는 외국에 간 동료 교수의 자리를 대신해 달라고 제안했고, 나는 이를 수락하여 소즈와 함께 절반 시간을 일했다. 내가 아이디어를 떠올리면, 소즈가 그것을 용접했다. 우리 주변을 돌아다니며 호기심 어린 눈빛으로 지켜보던 학생들은 최선을 다해 우리를 따라 했다. 그 해 아시 엔 프로방스 미술학교의 한 구역은 마치 수학적 표면을 대량 생산하는 공장이 되었다.

**...**만약 당신도 이 작업에 도전하고 싶다면, 어렵지 않다. 구리선(직경 약 1.5mm 이하) 한 뭉치와 가위 하나만 있으면 된다. 이를 이용해 어떤 표면을 구성하는 두 종류의 곡선을 표현할 수 있다.

**...**문제는 이러한 물체를 적절히 형성하는 것이다. 이를 위해, '자오선'과 '적도선'이 교차하는 지점을 미끄럽게 움직일 수 있으면 좋다. 좋은 해결책은 단순히 두 금속선을 뜨개질 실로 묶는 것이다. 이 방법은 물체를 단단히 고정시키지만, 동시에 변형과 조정이 가능하도록 충분히 미끄럽게 만들어 준다.

**...**물체가 수학적으로 원하는 형태에 완전히 부합한다고 판단되면, 이제 은 솔더링을 정교하게 다루는 사람에게 맡기면 된다. 그는 봉을 과도하게 가열하지 않으면서도 단단히 용접할 수 있는데, 소즈는 이 기술을 완벽하게 구사했다.

**...**한 번 나는 보이 표면의 원형 모델을 만들었고, 자오선과 적도선이 어떻게 배열되어야 하는지 발견했다. 어쩌면 자오선들이 거의 타원처럼 보이도록 조정할 수 있을 것 같았다.

**...**소즈는 이를 정교하게 복제했다. 나는 바로 수리오의 집으로 갔다. 그의 아들(물리학 학위를 마치기엔 인내심이 없을 것 같았던)은 아버지의 애플 II 컴퓨터로 놀고 있었다. 나는 그에게 말했다.

제롬, 수학적 순수 논문 하나를 네 이름으로 발표하고 싶지 않아?
어, 왜 안 될까? 그걸 위해서는 누군가를 죽여야 해?
아무도 죽이지 않아. 이 물체를 보고, 각도계로 이 타원들을 측정해보고, 이 표면의 반실험적 표현을 만들어보자.
한번 해볼 수 있겠네. 주어...

**...**두 날 후, 그는 그것을 완성했다. 논문은 파리 과학 아카데미의 회보에 빠르게 수락되었고, 우리 두 사람의 이름으로 게재되었다: J.P. 페티와 J. 수리오.

**...**하지만 아버지가 장-마리이고 아들이 제롬이므로, 모든 수학자들은 이 작업이 수리오 아버지와 나 사이에서 공동으로 이루어졌다고 확신한다.

**...**컴퓨터를 이용해 간단한 BASIC 프로그램 몇 줄로 표면을 그린 결과, 많은 수학자들이 놀랐다. 그들은 훨씬 더 복잡한 것을 기대했기 때문이다. 이 일은 부정적인 파장을 일으켰다. 수학자 베르나르 무린의 박사과정 학생인 아페리(아페리 아버지의 아들)는 유명한 정리의 저자로, 정수의 세제곱의 합이 무리수라는 것을 증명했다. 그 외에도...

**...**나는 이 사실을 몰랐다. 우리의 성과는 무린을 매우 불안하게 만들었고, 특히 내가 당시 순진하게 이 방법이 그가 유명하게 만든 '네 귀 있는 표면'을 묘사할 수 있을 것이라고 말했기 때문이다. 이 표면은 푸는 철망으로 만들었고, 맥스에 의해 디지털화되었으며, 등등.

무린은 눈썹을 찌푸리며 말했다.

아니, 불가능해! ....

**...**이 문제는 나중에 다시 다뤄보자. 나는 여전히 반대의 입장을 고수한다. 그러나 이 말은 로마 병사가 수학적 사색 중인 아르키메데스를 방해하자 그가 외쳤던 유명한 말, "내 원을 만지지 마라!"(Noli tangere circuleos meos!)의 반대편이었다.

여기서는 좀 더 비슷하게 "내 타원을 만지지 마라!" 정도였다.

**...**그 후 아페리는 내 발견, 즉 보이 표면에 타원형 자오선 체계를 도입할 수 있다는 점을 활용하여, 이 물체에 대한 최초의 암묵적 방정식을 구축했다:

f(x, y, z) = 0

**...**무린은 내 연구가 그 자신의 수학 작업에 침입한 것처럼 느껴져 화를 냈다. 그래서 아페리에게 박사 논문에서 타원 아이디어는 소즈가 발견했다고 명시하도록 강요했다. 소즈는 반박하지 않았지만, 사실과 다르다. 증거는 내 지하실에 있다: 내가 소즈에게 정리해달라고 가져간 원형 모델이다.

**...**결국 이 모든 일은 다소 어이없는 일이다. 이 이야기는 수학자들이 물리학자들만큼 뛰어나지 않다는 것을 보여주기 위한 것이다.

**...**폴리테크닉 출신의 콜로나는 이미지 합성 분야의 선구자였으며, 우리 방정식을 전부 활용했지만 그 출처를 언급하지 않았다. 그러나 재미있는 점이 하나 있다. 만약 당신이 화면에서 보이 표면의 이미지를 본다면, 그것이 '우리 것'이라면 반드시 극 근처에 세 개의 약간의 '접힘'이 나타날 것이다. 방정식 조정의 미세한 오류다. 제롬은 그때 서두르며 작업했고, 극 근처에 마지막으로 작은 철봉을 더 가열해주는 것이 좋았을 것이다. 그러나 누구나 여전히 이를 수정할 수 있다.

**...**보이 표면에 대한 이 이야기는 아직 끝나지 않았다. 완전성을 위해 한 인물도 언급해야 한다. 이탈리아의 천문가인 카를로 보노미. 나는 범버드 삼각지대 탐사 중 그를 알게 되었지만, 이건 또 다른 이야기다. 우리는 그의 화려한 요트에서 빠르게 항해하며, 찰스 벨리츠가 책에 언급한 침몰한 피라미드를 찾고 있었다. 그러나 피라미드는 찾지 못했고, 이곳을 떠도는 수많은 상어에게 물릴 뻔했다. 애니스를 보시면, 이 불운한 '아틀란티스 피라미드'가 캐이 살 발크 해저 산호초 남서쪽, 쿠바 남쪽 50마일 지점에 있었다는 것을 알 수 있다.

**...**두 번의 잠수와 캐비아 저녁 식사 사이에, 나는 보노미에게 보이 표면의 대량 제작을 후원해 달라고 제안했다. 그는 이 아이디어에 마음이 들었고, 결과적으로 후속 조치가 있었다. 말하자면, 파리의 과학궁전 수학실에 전시된 보이 표면은 보노미가 기부하고 소즈가 제작했다. 이 재벌은 금으로 만든 대량 모형을 만들고 전시회를 열 계획도 했지만, 결국 이루어지지 않았다. 장기간의 침묵에 놀란 나는 밀라노 사무실에 전화를 걸었다. 안타깝게도, P2 로그 스캔들에 연루되어 구속되었고, 그의 위상학에 대한 관심은 돌이킬 수 없을 정도로 훼손되었다.

**...**보이 표면의 이중 겹침(2겹)은 프로젝티브 평면 P²의 이미지이며, 이는 구면 S²이다 (『톱로지콘』 참조). 푸는 이 겹침을 닭용 철망 두 장으로 만들었는데, 이는 전적으로 놀라운 작품이지만, 나는 개인적으로 구리선과 자오선-적도선 표현 방식을 더 선호한다. 그러나 수학의 순수성에서도 말할 수 있다.

취향과 색깔에 대해 논쟁하지 마라.

**...**논문을 제시하기 전에 마지막 일화를 하나 더 소개하자. 푸는 1979년에 구의 뒤집기 과정의 각 단계를 묘사한 닭용 철망 모형 7개를 만들었고, 이로 인해 큰 상을 받았다. 이 모형들은 캘리포니아 대학교 수학과 식당 천장에 매달려 있었다. (나는 이 내용을 웹사이트에 올리기 위해 다섯 분만 확보하면 언급할 것이다.)

**...**전 세계의 수학자들이 이 놀라운 시퀀스를 보기 위해 순례를 왔다. 하지만 어느 밤, 이 모형들이 도난당했고, 그들의 운명은 누구도 알지 못한다. 누가 이런 물건을 구입할 수 있었겠는가? 혹시 한 명의 부유한 애호가, 미학과 수학을 동시에 좋아하는 사람이, 이 모형들을 보관하기 위해 강화된 지하실을 마련해 두었을지도 모른다. 그는 단 하나뿐인, 닭용 철망으로 만들어진 세계 제8대 불가사의를 감상할 수 있는 유일한 사람이라는 기쁨을 누리기 위해서였다.

**...**푸는 재료를 완벽하게 다루었지만, 새로운 시리즈를 다시 시작하는 용기는 없었다.

**...**이미 사이트 초반에 언급했듯이, 베르너 보이의 삶 자체는 여전히 미스터리다. 그가 자신의 이름을 붙인 표면을 발명한 후, 대학을 떠난 후에는 실체를 완전히 상실했다. 힐베르트의 노력에도 불구하고 그의 흔적은 찾을 수 없었고, 어디에 묻혔는지도 모른다.

**...**수학으로 돌아오자. 아래의 논문은 비교적 쉽게 읽을 수 있다. 공식 1부터 8까지를 이용하면, 깨어 있는 고등학생이라면 매우 아름다운 이미지를 만들고, 절단면이 그림 5와 정확히 일치하는지 확인할 수 있다.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 October 1981), Série I - 269
기하학. - 보이 표면의 해석적 표현. 장-피에르 페티와 제롬 수리오의 노트, 앤드레 리크네로비치가 제안함.

보이 표면의 해석적 표현을 제시하여, 이 표면을 그릴 수 있게 한다.

1. 서론.
**...**1901년 수학자 베르너 보이(힐베르트의 학생)가 발명한 이 표면은 수학자들에게 잘 알려져 있다. 이는 구의 뒤집기 과정에서 중심적인 단계로 작용할 수 있다 ( [1] 및 [2] ).

**...**1979년 (J.P.P.)은 금속선으로 만든 모형을 만들었고, 표면의 자오선이 위치해야 할 지점을 드러냈다. 1980년에 조각가 막스 소즈와 함께 한 두 번째 작업에서는, 곡선들이 평면에 놓여 있고 타원과 매우 유사하게 보이는 모형을 재구성했다. 이러한 모형을 바탕으로, 보이 표면의 위상과 일치하며 자오선이 유일한 극을 통과하는 타원인 표면의 해석적 표현을 만들 수 있을 것 같았다.

2. 타원을 이용한 보이 표면의 생성 방법.

**...**극을 좌표계의 원점에 둔다. 이 지점에서 표면은 (XOY) 평면과 접한다. 따라서 OZ축은 3중 대칭축을 갖는다 (그림 1 참조). 자오선 곡선들은 평면 Pm에 위치한 타원이다. 평면 XOY에서 평면 Pm의 교선을 OX1라 하자. m을 각 (OX, OX1)이라 하자. 이 평면 Pm 내에서 OX1에 수직인 축 OZ1을 정하고, a를 각 (OZ, OZ1)이라 하자.

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그림 1 및 그림 2

**...**이 해석적 표현의 첫 번째 매개변수는 각 m이다. a를 m의 함수로 간주할 것이며, 이후에 정의할 것이다. 평면 Pm 내에서 O점에서 OX1에 접하는 타원을 그린다 (그림 2 참조). 이 타원의 축은 X1OZ1의 각 이등분선과 평행하게 한다. 이 타원의 축 길이를 각각 A(m)와 B(m)라 하자. 이 타원 Em은 두 번째 자유 매개변수 q로 생성된다.

**...**요약하면, 표면 상의 점의 좌표 X(m,q), Y(m,q), Z(m,q)를 얻게 된다.

**...**이 반실험적 접근법에서 (J.S.)가 모형에 대해 측정한 데이터를 바탕으로 a(m), A(m), B(m) 함수의 근사치를 도출했다. 이후 Apple-II 컴퓨터로 표면을 그렸고, Z = 상수인 절단면을 얻었다. 이 절단면을 분석함으로써 보이 표면과의 위상적 동일성을 확인할 수 있었다. 그러나 이 과정에서 불필요한 특이점 쌍(촉점 쌍의 출현)을 제거하기 위해 (J.S.)의 수치 실험을 거쳐야 했다.

**...**우리는 다음을 채택했다:
(1) A(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)
(3)

**...**좌표계 X1OZ1 내에서 타원 Em의 중심 좌표는 다음과 같다:
(4)

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