이번에는 R³에 임베딩된 토러스의 호모토피 클래스로 돌아가자. 이 두 개체는 'C' 변환을 통해 쉽게 연결할 수 있다. 토러스를 어느 지점에서 "자기 자신을 관통"시키면, 원형을 이루는 이중점의 선이 생긴다. 
두 가지 색상을 사용했다: 토러스의 외부는 회색, 내부는 흰색이다. 위의 자기 관통은 '표준 토러스'의 무수한 임베딩 중 하나로 이어지며, 표면의 일부가 흰색으로 나타나게 된다.
이 물체를 토러스의 축 위에 있는 한 점에서 관찰해 보자:
위쪽에는 자기 관통으로 인해 나타난 토러스의 내부(흰색) 부분이다. 이어서 'C 변환'을 적용하여 두 개의 콩기(점)을 만들 수 있다. 
화살표로 표시된 지점에서 통로를 '조이듯이' 압축한다. 이 과정은 두 개의 콩기 C1과 C2를 생성한다:
이 두 콩기는 다음과 같이 이동시킬 수 있다:
이제 C⁻¹ 변환(두 콩기의 융합)을 수행하면 된다:
결과로 얻어진 물체는 다음과 같다: 
이 토러스의 임베딩은 표준 토러스와 호모토피적이다.
이 'C' 변환과 그 역변환 'C⁻¹'이 R³에서의 표면의 전단(스케일링) 공간을 확장함으로써 흥미로운 결과를 만들어낼 수 있음을 알 수 있다. 우리는 일반적인 표면들(구, 실수 프로젝티브 평면, 토러스, 클라인 병)의 전단을 모두 구성할 수 있다. 이 집합은 몇 개의 클래스를 갖는가?
이미 보았듯이, 구와 실수 프로젝티브 평면은 같은 클래스에 속한다(보이의 오른쪽 표면과 왼쪽 표면도 마찬가지). 토러스의 전단 클래스는 몇 개인가? 나는 잘못되지 않았다면, 이 문제는 현재까지 해결되지 않았다고 생각한다. C 연산을 통해 토러스의 임베딩 클래스를 하나에서 다른 클래스로 옮길 수 있는가? 직관적으로는 불가능하다고 생각하지만, 이는 단지 '가설'일 뿐이다.
어떤 구성이 불가능함을 증명할 수는 없지만, 가능성을 보여줄 수는 있다. 누군가 다른 클래스로 건너뛸 수 있는 구성법을 발견한다면, 그 자체로 정리가 증명된 셈이지만, 그와 같은 구성법을 찾지 못한다는 사실이 그 불가능성을 증명하는 것은 아니다. 증거가 없는 것은 존재하지 않는다는 증거가 아니다. R³에서 토러스의 전단 클래스가 네 개 존재한다는 주장과, 하나만 존재한다는 주장은 모두 '가설'일 뿐, 현재로서는 단지 믿음일 뿐이다.
스메일이 필립스가 첫 번째 구성법을 제시하기 전에 구의 뒤집기가 가능하다는 것을 증명했다는 점은 흥미롭다. 그 반대도 충분히 가능했을 것이다. 그러나 누구도 우리의 기하학적 직관에 완전히 반하는 이와 같은 도전을 떠올릴 수 있었을까?
C 변환은 구를 크로스 캡으로, 스테이너의 로마 표면을 거쳐 보이 표면으로 변환할 수 있다. 자세한 내용은 관련 논문을 참조하라. 이 변환을 통해 토러스를 클라인 병으로 바꿀 수 있는가? 논리적으로는 가능해 보이지만, 이 질문에 대한 명확한 답은 아직 없다.
이와 함께, 왜 '실수 프로젝티브 평면'이라고 하는가? 보여진 물체(일면체)는 유한하다. 수리오의 답변은 다음과 같다:
- 평면 위에는 '무한원'이 있다. 이 무한원을 따라 평면을 접합하면 된다.
물론, 이 무한원은 닫힌 곡선이다.
'토폴로지콘'에서는, 삼중 반전을 가진 모비우스 띠가 보이 표면으로 변하는 애니메이션(피드)을 볼 수 있다. 마지막 이미지에서는 이 표면이 원형의 구멍을 제외한 모습을 보여준다. 이 구멍을 채우면 표면이 완성된다. 따라서 보이 표면은 모비우스 띠에 원형 디스크를 더한 것이다. 연습 문제: 토폴로지콘의 도구를 이용해 이 표면의 오일러-포앵카르 특성(값은 1)을 다시 계산해 보라.
반대로, 원형 디스크에서 시작하여 자기 자신을 관통하면서 성장시키다 보면, 결국 삼중 반전 모비우스 띠에 접합될 수 있다. 이것은 또 다른 구성 방법이다.
나는 1987년 4월 4~5일 아르스 프로방스에서 열린 라캉 정신분석학 회의에서 발표한 55쪽 분량의 보고서에서 이 그림들을 다시 찾았다. 이 보고서는 회의 주최자들이 편집한 회의록에 포함되어 있다. 나는 이 텍스트를 향후 '라캉에서의 JPP'라는 제목의 문서에서 활용할 것이다.
첫 번째 이미지: 구가 비틀어지는 모습.
다음은 자기 교차 집합 생성의 초안:
다음 그림: 삼중점이 나타나는 순간:
이제 그림자 처리를 중단한다. 표면이 일면체가 되어가고 있기 때문이다.
다음은 표면이 자기 자신과 경계를 따라 접합될 준비가 된 상태:
이제 삼중 반전 모비우스 띠가 표면을 완성한다:
다음 그림: 같은 모비우스 띠.
그 다음은 완성된 보이 표면이다. 토폴로지콘에 제시된 이미지들과 비교해 보면, '아래에서 본다'고 말할 수 없다. 보이 표면은 머리도 꼬리도 없기 때문이다. 단지 이 상태에서 삼중점이 보인다는 점을 말할 수 있다.
다음은 자기 교차 집합의 모습: 
이제 여러분의 눈앞에서 평면이 '무한원' 위로 접히는 모습을 보셨다. 그래서 '실수 프로젝티브 평면'이라 부르는 것이다. 처음에는 다소 이상하게 들릴 수 있지만, 아마도 이는 사람들이 무한을 이렇게 가까이 접할 수 있는 최초의 경우일지도 모른다.
이 그림들은 이미 20년 전에 만들어졌고, 이 웹사이트나 CD를 통해 비로소 공개할 수 있게 되었다. 독자는 왜 이 그림들이 '과학을 위한' 또는 '연구'에 실리지 않았는지 궁금해할지도 모른다. 이 주제를 여러 번 저널에 제출했지만, 편집부는 이 주제에 흥미를 느끼지 못했다.
이 '기하학적 도구상자'를 통해 여러분이 새로운 표면들을 수없이 만들어내기를 바란다. 마담 이바르스가 상상한 하나의 예를 소개한다. 구를 두 방향으로 반대편에 대해 길이가 같은 두 구간을 밀어넣어 접촉할 때까지 넣어보라. 이 두 구간이 두 개의 지지대에 용접되어 있다고 상상해 보자.
구간이 접촉할 때, '수술'이 이루어진다. 구간을 따라 겹쳐진 면이 생기며, 각 끝에는 원뿔점이 생긴다. 아래는 이 표면의 단면이다.
동일한 표면을 사시화하여 보여준다:
표면 제작 도구 상자에 '배관 부품' 하나가 있다:
유체가 입구를 통해 들어오면, 출구 파이프의 외부를 따라 흐른다. 그러나 출구를 입구로 사용할 수도 있다. 그 결과는 동일하다. 이 물체는 외부를 내부로 바꾸는 일종의 기하학적 연산자이다.
이 '결합부'를 스스로 닫으면 클라인 병이 된다:
하지만 또 다른 조합도 있다:
동일한 조합을 사시화하여 보여준다:
이 표면은 양면체이다. 어떤 것인가?
정규 호모토피, 즉 연속적인 임베딩의 연속열을 통해 이 표면을 다음과 같이 변형할 수 있다:
여러분은 손잡이가 달린 상자임을 알아챘을 것이다. 하지만 이 상자는 내부에서만 열 수 있다. 이 물체를 변형할 수 있다. 구멍을 통해 줄을 넣고, 자신 쪽으로 당기기만 하면 된다:
결과는 다음과 같다:
이것은 토러스이다.
이제 아래의 조합을 여러분이 스스로 해결해 보시기 바란다:
이 조합은 이 '결합부' 세 개로 만들어졌다.
다음 논문에서 이 '결합부'가 구의 뒤집기 과정에서 어떤 역할을 하는지 살펴볼 것이다.