제인스 불안정성과 우주론적 중력

에피스테로트 프로젝트 2

중력 불안정성 또는
제인스 불안정성

2004년 5월 6일

고정된 질량 점들이 일정한 밀도로 채워진 구를 생각해 보자. 이 구의 반지름은 R이며, 전체 질량은 M이다. 이 구의 표면에 질량 m이 있다고 하자. 뉴턴의 법칙을 적용하면, 단 두 줄의 계산을 통해 프리드만 방정식, 즉 동일한 이름을 가진 우주론 모델의 방정식을 얻을 수 있다.

이 이차 미분방정식의 세 가지 해를 찾아볼 수 있다. 이는 다음과 같은 모델을 제공한다:

• 주기적 (R이 사이클로이드 형태)
• 쌍곡선적 (R이 점근선으로 수렴)
• 아인슈타인-지터 모델 (tq 기준)

1934년 밀네와 맥크리는 일반 상대성 이론의 주요 방정식이 뉴턴 역학에서 도출될 수 있음을 보였다. 1970년대에는 나는 보르츠만 방정식과 포아송 방정식의 결합해 얻은 맥스웰 해를 이용해 비슷한 결과를 얻었다. 이쯤에서 넘어가자.

아인슈타인과 지터가 제시한 tm 해에 집중해 보자.

이 방정식을 무차원화하기 위해, 단순히 초기 반지름의 값으로 특징적인 길이를 도입한다. 그러면 특징적인 시간이 나타난다.

아인슈타인-지터 해는 초기 조건이 폭발적인 상황에서 느린 팽창을 묘사하지만, 시간 t를 -t로 바꾸어도 대칭성을 유지한다. 따라서 t=0을 기준으로 두 개의 대칭적인 포물선을 얻게 된다. 이는 명백히 임의의 시간 기준이다. 왼쪽 곡선을 해석하면, 자가 가속화되는 중력 붕괴의 묘사가 된다.

이 현상과 관련된 특징적인 시간이 바로 제인스 시간이다. 따라서, 운동 에너지가 없는 먼지 덩어리(운동이 없는 입자들로 구성된 집합)의 질량이 어떤 크기이든, 그 크기는 2R이지만, 그 밀도의 값에만 의존하는 시간 안에 붕괴된다.

이제 반대 현상을 고려해 보자. 크기가 L인 질량 m의 구름이 열운동에 의해 움직이는 경우다. 중력은 무시한다. 이 구름은 특징적인 시간 내에 퍼져 나가게 되며, 이 시간은 L을 열운동 평균 속도 로 나눈 값이다. 이 평균 속도는 절대온도 T와 관련된다 (이전 문서의 기체 운동론 참조). 이 퍼짐 시간을 td라 하자. 기체 구 내에서는 두 현상이 서로 반대되는 작용을 한다. 그러면 퍼짐 시간이 붕괴 또는 응집의 특징적인 시간보다 클 것임을 알 수 있다. 단, 고려하는 "덩어리"의 크기가 특정한 특징적인 길이, 즉 제인스 길이 Lj를 넘어서면 말이다.

이 길이는 열운동 속도 에 비례하고, 밀도 r의 제곱근에 반비례한다. 따라서 "가열하면 안정화된다"고 할 수 있다.

• 어떤 것이 가열하는가? (예: 은하간 가스의 질량) 답: 자외선을 방출하는 뜨거운 별들.

• 어떤 것이 냉각하는가? 복사 손실 (가스가 적외선을 방출함).

따라서 은하간 가스는 수도꼭지처럼 작용하며, 동적 균형을 유지하는 현상을 겪는다. 가스가 냉각되면 중력적으로 불안정해지고 별들이 탄생한다. 이 별들은 자외선을 방출하여 가스를 다시 가열하고 팽창시킨다. 이것은 "반우울제" 메커니즘이다. 별의 현상은 가스에 대해 우울제의 역할을 한다. 이 가스는 나선 은하 내에서 매우 평평한 디스크 형태로 갇혀 있으며, 두께는 수백 광년에 불과하지만, 은하의 지름인 10만 광년에 비하면 매우 얇다. 이 가스 층은 마이크로실론 형태의 디스크와 같다. 두께는 일정한데, 그 이유는 이 두께가 곳곳에서 동일한 반우울제 현상에 의해 조절되기 때문이다.

여러분 중 일부는 시뮬레이션을 통해 중력 불안정성을 모델링해 보았지만, 실패했다. 왜냐하면 그들의 가스가 너무 뜨거웠거나, 질량 점들이 너무 가벼웠기 때문이다. 이로 인해 제인스 거리가 초기 덩어리의 지름보다 커졌기 때문이다. 2차원에서 구 위에서 작업할 때도 유사한 현상이 발생한다. 일부 분들이 이미 이 작업을 해보셨다. 여러분은 2차원에서 제인스 이론의 대응체를 만들어 보는 재미를 느낄 수 있다. 그러면 구의 "표면"에서의 2차원 열운동 속도에 비례하는 특징적인 길이를 얻게 된다. 밀도는 3차원에서와 유사한 역할을 한다. 하지만 오늘 밤 나는 이 문제를 명확히 하기 위한 노력이 귀찮아서, 사실상 의미 없는 2차원 우주에 대해 설명하는 것을 포기한다. 왜냐하면 우주는 3차원이기 때문이다. 그러나 정성적으로는 현상이 유사하다. 따라서 2차원 제인스 길이를 얻게 된다. 이 길이가 구의 대원의 둘레보다 크면 덩어리가 생기지 않는다. 반면 이 길이가 대원 둘레보다 훨씬 작다면, 많은 덩어리가 생긴다. 여러분이 2차원 구에 대한 계산 프로그램을 갖게 되면, 이에 대해 즐기며 실험해 볼 수 있다. 다고스티니는 훌륭한 프로그램을 만들었으며, 다음 문서에 설치할 것이다. 실행 파일과 소스 코드를 모두 제공하므로, 자유롭게 수정해 볼 수 있다. 이 프로그램은 파스칼로 작성되었다.

팽창은 냉각을 초래한다. 등엔트로피적 팽창은 불안정성을 초래한다.

제인스 길이가 R의 제곱근에 비례함을 알 수 있다. 따라서 등엔트로피적 팽창을 하는 어떤 시스템은 필연적으로 불안정해지고, 파편화된다. 만약 광자, 즉 우주복사가 존재하지 않았다면, 우주는 아주 어린 시절부터 덩어리들을 형성했을 것이다. 그러나 물질과 복사의 결합은 중력 불안정성의 발생을 10만 년 정도의 시점까지 억제했다. 그 시점에서 수소의 열운동 속도가 약 3000도 아래에 있고, 당시의 밀도를 고려하면 특정한 제인스 길이 값을 얻을 수 있다. 이 덩어리 안에 포함된 질량을 계산하면, 그 시점의 제인스 질량은 약 10만 태양질량에 가까웠다. 따라서 이 시점에서 별 무리와 유사한 질량들이 서로 분리된 덩어리로 형성되었을 것이라는 것은 합리적이다.

마지막으로 작은 메모를 하나. 내가 마르세유 관측소에 도착했을 때, 나는 끔찍한 곤경에서 벗어나기 위해 도망쳤다. 그 곤경은 유체역학 연구소(즉 "플루토메카닉 실험실")였다. 이 실험실은 현재 마르세유의 버스터미널 근처, 샹칼레 기차역 근처에 있었는데, 몇 년 전에 철거되었다. 그 실험실의 책임자는 이제는 여섯 발자국 아래에 있다. 1966년 나는 그곳에서 벨리코프 불안정성을 제거했다. 그 결과, 많은 사람들의 열병이 일어났다. 어느 날, 가스총 형태의 펄스 MHD 발전기 앞에 앉아 있던 나는 "내가 이곳을 떠나지 않으면, 나도 다른 사람들처럼 될 거야"라고 생각했다. 그 후 몇 달 안에 기체 운동론에 관한 전문서적, 채프먼과 코링이 쓴 "비균일 기체의 수학 이론"(Cambridge University Press)을 읽었다. 이 책은 매우 훌륭한 책이며, 더 깊이 있게 이론을 공부하고자 하는 사람들에게 강력히 추천할 수 있다. 특히 이론을 다이애드, 다이애딕 행렬을 이용해 계산하는 데 도움이 된다. 소화 과정에서 몇 가지 아이디어가 떠올라, 박사학위 논문을 준비했다. 이 논문은 나를 구원하는 배였다. 이 작업은 마르세유의 한 카페에서 물에 민트를 넣어 마시고 있던 수학자 안드레 리크네로비치의 주목을 끌었다. 그의 보호 덕분에, 나는 관료적 폭력에서 벗어나, 안타깝게도 또 다른 곤경인 반응계통 역학 실험실로 떨어졌다. 어느 날 나는 "조용한 곳을 찾아보자"고 생각했다. 조사한 결과, 마르세유 관측소가 가장 노인 정원과 비슷하다는 결론을 내렸다. 그래서 나는 보르츠만 방정식에 중력을 추가하고, 전자를 별로 바꾸고, 이를 포아송 방정식과 결합했다. 그 후, 마르셀, 떠나자. 6개월 후 나는 은하와 기타 우주적 현상들과 즐겁게 놀았다.

나는 처음에 이상한 방정식을 발견했다. 당시 관측소의 사람들은 모두 관측자였고, 이론가가 아니었다. 그들은 망원경 설계와 거울 연마에 뛰어났다. 하지만 이론은 전혀 몰랐다. 그 시절 관측소의 책임자는 구두를 신고 있었고, 턱수염이 있었는데, 그 모습이 줄스 베른의 소설 속 인물 같았다. 나를 찾아온 사람들은 내게 과학에 능한 사람을 소개했다. 이름은 헨론이었고, 웃기지 않은 성격이었다. 그는 내 종이를 보고 "이건 제인스 방정식이야."라고 말했다. 좋아, 나는 기체 운동론에서 제인스 방정식을 재발견한 것이다. (이 과정은 생략하겠다.) 이후 나는 프리드만 방정식도 같은 방식으로 도출했다. 천문학과 우주론을 배우는 대신, 나는 스스로 재창조했다. 이건 정말 좋은 일이다. 이해가 더 깊어진다.

위에서 제시한 내용을 통해, 여러분은 시뮬레이션에서 보게 될 것을 충분히 이해할 수 있을 것이다. 동시에 물질과 동일한 물질의 혼합물의 행동을 연구할 것이다. 그때 우리는 중력적 결합 불안정성에 대해 논의하게 될 것이다. 나는 이 주제를 국제 천문학 회의에서 발표했다. 하지만 아무도 이해하지 못한 것 같다. 어쨌든, 지금은 이론가의 지적 능력이 기가랩스, 기가트럭, 기가머신 단위로 측정된다.

나는 대학에서 가장 아름다운 존재다.

이 모든 것은 우리에게 도움이 될 것이다. 하지만 순수 이론 없이 무작정 달리면, 기가스무디에서 헤매게 된다.

다음 문서: 아르테팩트

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