천체물리학과 N체 문제
에피스테모트론 프로젝트 1
N체 문제에 대한 일반적 고찰 몇 가지 기체 이론의 개념
천체물리학은 원래 우주에서 다양한 척도로 일어나는 현상을 이해하는 것을 목표로 하는 과학이다. 예를 들어 태양계가 어떻게 형성되었는지에 대한 연구는 물론, 이는 결코 이루어지지 않은 흥미로운 작업이며, 에피스테모트론 프로젝트에서 추구할 목표 중 하나가 될 것이다. 이 연구는 수학자 장-마리 수리오의 이론을 구체화할 것이다.
더 큰 척도에서는 은하의 역학이 있다. 지금까지 이는 완전히 투명한 상태였다. 우리는 은하에 대한 어떤 모델도 가지고 있지 않다. 이 물체들이 어떻게 형성되고 어떻게 진화하는지 알지 못한다. 순수 이론적으로 이러한 '자기중력 N체 시스템'은 비선형 미분방정식 시스템(Vlasov 방정식 + Poisson 방정식)을 통해 다루어진다. 지금까지 이러한 접근법(현재의 '이론가'들이 이미 알지 못하는 방식) 역시 벽에 부딪혔다.
우리에게 보이는 해결책은 우주에 대해 새로운 시각을 갖는 것이다. 이는 쌍둥이 우주라는 개념이다. 관심 있는 독자는 내 사이트에 오랫동안 존재하는 자료를 통해 이 주제에 대한 입문을 할 수 있다. 구체적으로 이는 우주가 두 가지 구성 요소로 이루어져 있다는 것을 의미한다:
- 양의 에너지를 가진 입자, 우리 것들
- 음의 에너지를 가진 입자, 쌍둥이 입자들
E = mc²이므로 음의 에너지를 가진 입자는 마치 음의 질량을 가진 것처럼 행동한다. 따라서 다음과 같은 역학적 구도를 얻게 된다:
- 두 양의 질량은 뉴턴의 법칙에 따라 서로 끌어당긴다
- 두 음의 질량은 뉴턴의 법칙에 따라 서로 끌어당긴다
- 서로 반대 부호의 질량은 '역뉴턴' 법칙에 따라 서로 밀어낸다
왜 우리는 음의 에너지를 가진 입자를 광학적으로 관측하지 못하는가? 전자기적 상호작용을 통해 서로 반대 에너지를 가진 두 입자가 상호작용하는 것은 단순히 불가능하기 때문이다. 최근 젊고 뛰어난 연구자들이 보여준 바에 따르면, 양자장 이론에 따르면 이러한 상호작용이 일어난다면, '가상 입자' 또는 '운반 입자'를 교환해야 하며, 이들은 양의 에너지를 가진 광자와 음의 에너지를 가진 광자이다. 이 모든 가능한 상호작용을 파인만의 경로 적분을 통해 다루게 되면, 그 결과는 단순히 0이 된다. 따라서 상호작용은 실제로 불가능하며, 쌍둥이 입자들은 우리에게 보이지 않는다. 그들은 중력(또는 오히려 반중력)을 통해만 상호작용하며, 우리를 통과할 수도 있다. 이 아이디어는 현재 천체물리학과 우주론에서 가장 큰 문제들(부족한 질량 효과, 은하 회전 곡선, 은하 형성, 우주의 대규모 구조의 기원)의 열쇠이다. 이 아이디어에 대한 대중적인 설명은 1997년 출간된 내 저서에서 찾을 수 있다:
일반적인 정보, 특히 중력 불안정성에 관한 내용은 내 만화책 "천억 개의 태양들"에서 찾을 수 있다. 이 책은 CD-Rom "Lanturlu1"에 PDF 형식으로 수록되어 있으며, 인쇄 가능하다. 18개의 만화를 구입하려면 16유로를 자크 레갈랑드, 루 가라가이, 13770 베넬레스에 있는 J.P. 페티에게 송금하면 된다.
중력 외에도 우주에는 다양한 메커니즘이 작용한다. 그러나 앞으로 다룰 내용에서는 복사 에너지 교환과 핵융합에 의한 에너지 생성을 무시하고, 오직 하나의 메커니즘인 중력에 집중할 것이다. 우리가 연구할 시스템은 '자기중력 N체 시스템'으로, 자신의 중력장 속에 빠져 있는 시스템이다. 이러한 시스템의 거동을 연구하기 위해서는 각 '질점'의 이동을 단계적으로 분석하고, 나머지 N-1개의 입자들로부터 발생하는 모든 중력적 인력(끌림 또는 밀림)의 벡터 합을 계산해야 한다. 따라서 계산 시간은 N이 클 경우 N(N-1) 또는 N²에 비례해 급격히 증가하게 된다.
행성계나 원행성계에서는 물체의 수가 상대적으로 적어, 단일 가정용 컴퓨터로도 처리할 수 있다. 그러나 은하의 경우는 그렇지 않다. 우리 은하는 1000억에서 2000억 개의 별로 구성되어 있으며, 이들은 질점으로 간주할 수 있다. 이러한 별들의 질량은 마치 별 자체가 분자인 기체로 간주할 수 있다. 가능한 한 '현실에 가까운' 모델을 만들기 위해 가능한 한 많은 질점을 다뤄야 한다. 이러한 기술은 1960년대 말부터 적용되기 시작했다. 다행히도 컴퓨터의 속도와 계산 능력은 해가 갈수록 증가해 왔다. 나는 1990년대 초에 독일 DAISY(입자 가속기)의 중심에서 실험 데이터를 처리하던 대형 컴퓨터에서 계산을 수행할 수 있었다. 당시 이와 같은 컴퓨터는 매우 강력한 것으로 여겨졌으며, 5000개의 질점을 처리할 수 있었다. 위의 저서에서 이 실험에서 얻은 주요 결과를 찾을 수 있다.
12년 동안 컴퓨터 기술이 이렇게 발전했기 때문에, 이제는 가정용 컴퓨터에서도 이러한 문제들을 처리할 수 있게 되었다. 계산 속도(2GHz)와 메모리 용량의 급격한 증가 덕분이다. 올리비에 르 루아와 같은 독자들은 C++로 자신의 컴퓨터를 프로그래밍하여 중력 불안정성의 핵심 메커니즘을 재현할 수 있었다. 2001년에 나는 천체물리학 연구를 완전히 포기했지만, 이러한 개인적인 시도들은 나를 다시 아마추어 기반의 연구를 재개하려는 데로 이끌었다. 실제로, 12년 전, 내가 2월 25일 콜레지 드 프랑스에서 발표한 강연 이후, 학계의 천체물리학자 장-클로드 페커가 지적했듯이, 적절한 자원을 갖춘 팀들이 이 아이디어를 다시 받아들이지 않고, 여전히 '차가운 다크 물질'로 어설프게 실험을 계속하고 있다는 것은 놀라우면서도 안타까운 일이다.
따라서 나는 이 모든 '결의를 가진 사람들'에게 이 연구를 진행할 수 있도록 필요한 모든 요소를 제공하고자 한다. 단일 컴퓨터와 2000~5000개 미만의 점을 사용하면 많은 계산이 가능하다. 그러나 이는 2차원 시뮬레이션에 국한된다. 3차원에서는 수천 개의 점을 '기체'로 간주할 수 없다. 그 이상의 경우, '공유 계산' 기술을 활용해 N대의 컴퓨터를 협력시키는 놀라운 프로젝트가 가능해진다. 이는 순수한 컴퓨터 과학의 난제가 된다.
N체 문제의 관리
우리는 질점을 가지고 있으며, 초기 조건은 3차원에서는 여섯 개의 수치(위치의 세 좌표와 속도의 세 성분)로, 2차원에서는 네 개의 수치(위치의 두 좌표와 속도의 두 성분)로 요약된다. 또한 계산 공간을 설정하고 경계 조건을 관리해야 한다(컴퓨터는 무한한 공간을 처리할 수 없다). 다음으로 계산 간격과 시간 간격 Δt를 가능한 한 최적화해야 한다. 먼저 매우 단순한 시각을 제시하자. 2차원 무한 계산 공간을 상상해 보자. 수학자들이 R²라고 부르는 공간이다. 이 공간에 초기 위치와 속도를 가진 N개의 점을 배치한다. 그 중 하나의 입자(검은 점으로 표시)를 선택하여, 나머지 N-1개의 입자들로부터 받는 힘의 합(Fx, Fy, Fz)을 계산한다. 그런 다음 타일러 전개를 사용하여 그 입자의 새로운 위치와 속도를 계산한다.
즉각적인 문제는 시간 간격 Δt를 어떻게 선택할 것인가이다. 논리는 간단하다. 우리는 N개의 입자들의 이동을 동시에 처리할 수 없다. 따라서 이 시간 Δt 동안 중력장이 '고정된 상태'로 유지되어야 한다. 한 단계의 계산을 수행하고, 위의 타일러 전개를 사용하여 이 '고정된' 중력장 내에서 입자의 궤적을 그린다. 그들의 운동은 결국 지역적인 중력장 분포를 변화시킨다. 계산이 유효하려면 중력장이 '너무 많이 변화하지 않아야 한다'. 눈으로 보면, 이 시간 Δt 동안 질량 분포가 '너무 많이 변하지 않았다'고 볼 수 있다. 2차원 이미지를 들어 보자. 마치 거품 매트리스 위에 납 구슬을 놓는 상황을 상상해 보자. 구슬들은 매트리스의 표면을 처지게 만든다. 구슬이 모이면 지역적으로 웅덩이가 생긴다. 이는 중력장의 물리적 표현으로, 표면 형태로 나타난다. 이는 자기중력 시스템의 좋은 교육적 이미지이기도 하다. 왜냐하면 구슬들은 자신이 모양을 만든 매트리스 위를 움직이기 때문이다.
계산의 유사한 과정은, 고정된 강성 매트리스 위에서 모든 구슬의 이동을 계산하여 새로운 '지도'를 생성하는 것이다. 그런 다음 이 새로운 분포를 동일한 매트리스 위에 다시 놓는다. 매트리스는 다시 움푹 패인다. 계산 단계가 적절히 작다고 볼 수 있는 조건은, 전반적으로 두 표면이 유사할 때이다.
이 기준은 5개의 별이 중력으로 연결된 작은 군집을 고려할 때도 동일하게 적용된다. 시간 t에 이 별들은 중력장 g(r,t)를 생성한다. 우리는 각 별의 이동을 시간 Dt 동안 계산하고, 다시 중력장 g'(r + Dt)를 계산할 수 있다. 이 계산이 유효하려면, 이 시간 간격 동안 두 중력장이 '충분히 유사'해야 한다.
물론 시간 간격이 작을수록 계산 속도는 빨라지지만 오차는 커진다. 앞으로 다룰 시스템은 N이 매우 크고 가능한 한 최대한이어야 한다. 최소한 수천 개 이상의 질점을 다뤄야 하며, 공유 계산이 가능해지면 수백만 개의 질점을 다룰 수 있다(이로써 3차원 시뮬레이션의 문이 열린다). 이 과정의 목표는 명확하다: 질점 집합을 입자 기체처럼 다룰 수 있도록 하는 것이다. 이 아이디어는 항성간 가스 질량의 경우 직관적으로 이해된다. 그러나 은하를 구성하는 별 전체에 대해서도 마찬가지다. 우리 은하에는 1000억에서 2000억 개의 별이 있다. 타원 은하의 경우 그 수는 10배 더 많다. 우리의 감각에 비추어 보면 은하는 매우 희박해 보인다. 가장 가까운 별 사이의 거리는 빛년 단위이다. 그러나 은하의 척도에서는 매우 작은 거리이며, 은하의 지름은 약 10만 빛년이다. 100광년은 은하 지름의 천분의 일에 불과하다. 그러나 그런 부피 안에는 많은 별이 존재한다. 100광년의 척도에서는 은하가 기체 질량처럼 보인다. 과거에는 수학적 도구만 있었기 때문에, 이러한 물체를 연속 함수로 묘사하려고 시도했다.
N체 시스템의 자연스러운 진화
지금까지 우리는 무한한 계산 공간을 가정하고 있다. 생각을 명확히 하기 위해 2차원으로 가정하자. 당신은 시스템의 상태를 화면에 시각화할 수 있다. 위치-속도 정보를 동시에 보려면, 질점을 검은 점으로 표현하고, 그 점에 작은 선분(벡터 속도)을 추가할 수 있다. 질점을 점으로 다루더라도, 질량에 따라 점의 크기를 다르게 설정할 수 있다. 현실에 더 가깝게 만들기 위해, 질량의 세제곱근에 비례해 반지름이 커지는 작은 검은 조각을 사용할 수도 있다.
이제 이중체 시스템은 어떻게 될까? 우선 이 시스템은 안정적이다. 나는 스스로 프로그램을 만들고, 직접 현상을 다루며, 눈앞에서 볼 수 있도록 하는 것이 중요하다고 생각한다. 두 질량 M과 m이 매우 다르다면, 이는 별 주위를 도는 행성과 유사하다. 태양(2×10³⁰kg)과 지구(6×10²⁴kg)의 질량 비율은 약 333,333배, 즉 33만 배이다. 목성이 지구보다 317배 더 무겁기 때문에, 태양과 목성의 질량 비율은 약 1000배이다.
이 시점에서 나는 라루스 출판사의 '천문학 사전'을 구입하는 것을 추천한다. 여기에는 거의 모든 종류의 데이터를 찾을 수 있다.
만약 태양과 목성으로 구성된 이중체 문제를 설정하면, 태양이 충분히 멀리 떨어져 있다면(목성 궤도는 약 8억 km), 거의 케플러 법칙을 얻을 수 있다. 천문학에서는 보통 천문단위(UA)를 사용한다. 1 UA는 지구와 태양 사이의 평균 거리로, 약 1.5억 km이다. 목성의 궤도 반경은 따라서 5.2 UA이다.
이 조건에서 태양은 거의 정지해 있는 것으로 보이지만, 실제로는 두 개의 질점이 공통 질량 중심을 중심으로 공전한다. 해볼 만한 연습은 질량 비율을 바꾸고, 행성을 태양에 가깝게 이동시키는 것이다. 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보며, 계산 단계가 '충분히 작아서 결과가 의미 있는'지 여부를 항상 고려해야 한다. 물론 이미 수십 년 전부터 이런 종류의 프로그램은 존재한다. 그러나 중요한 것은 '손을 대어볼 수 있는' 것을 만들어내는 것이다. 이제 삼체 시스템으로 넘어가면, 그 행동은 근본적으로 달라진다. 이러한 시스템은 불안정하다. 두 개의 소행성이 별 주위에 궤도를 돌리지 않는 한, 질량이 비슷하면 물체들은 뒤엉키며, 조만간 삼체 중 하나가 탈출하게 된다. 이 현상을 파라미터를 조정하여 쉽게 재현할 수 있다. 궤적과 속도 벡터를 시각화하고, 애니메이션 GIF를 만들 수 있다. 누군가 이 작업을 한다면, 나는 그의 작업을 인용하며 이 강의를 보완하는 것을 기쁘게 여길 것이다. 나는 이 모든 것을 직접 프로그래밍할 수 있다. 그러나 안타깝게도, 컴퓨터 기술이 나의 프로그래밍 시절(이미 꽤 정교한 CAD 프로그램을 만들던 시절)과 비교해 크게 발전했고, 오늘날 C++를 다루지 않으면 오래된 개미에 불과하다. 사실 나는 항상 컴파일된 BASIC으로 모든 코드를 작성해 왔다. 파스칼조차 모른다! 이제는 파스칼을 배워야 하지만, 지금은 두 척의 모형선이 건조 중이다. 하나는 5000년 전 페루의 배, 콘티키와 유사한 뗏목이며, 다른 하나는 고대 이집트 왕국(기원전 2300년경)의 배를 시도하는 것이다. 시간이 없어 파스칼을 배우지 못하니, 내 독자들이 이 강의의 그림(애니메이션 포함)을 제공해 주기를 기대한다.
세 개 이상의 물체로 구성된 시스템은 불안정하다. 이 사실은 하늘에 보이는 별의 절반은 단일 별이고, 나머지 절반은 대체로 이중 또는 삼중 이상의 별계라는 관측 결과에서 확인된다. 오직 두 개의 별계만이 안정적이다. 우리가 알고 있는 바에 따르면, 별은 고립적으로 태어나는 것이 아니라, 별단에서 태어난다. 이 아이디어는 오히려 최근에 등장한 것이다. 15~20년 전에 세상을 떠난 친구 피에르 구르랭이 나에게 한 말을 기억한다:
- 만약 당신이 태양이 별단에서 태어났다고 말한다면, 천체물리학자들에게는 큰 불만을 사게 될 것이다.
몇 년 전 세르주 조드라가 '지구와 하늘' 잡지에 실은 논문 "태양의 자매들은 어디로 갔는가?" 이후, 이 아이디어는 반대 방향으로 바뀌었다. 물론 이것은 추측에 불과하며, 우리가 추구하는 목표 중 하나는 이러한 '안개 같은' 질문들에 대해 좀 더 명확한 답을 제시하는 것이다. 간단히 말해, 태양과 같은 별은 수백 개의 별로 이루어진 별단에서 태어났을 것이라고 가정한다. 이 별들은 모두 같은 질량을 가질 이유는 없다. 관측 결과에 따르면, 태양은 우리 은하와 다른 은하에서 '표준 별'로 여겨지며, 더 무거운 별과 더 가벼운 별이 존재한다. 따라서 3차원으로 확장하면서도 흥미로운 것은, 서로 상호작용하는 200개의 질점을 연구하는 것이다. 이 물체들은 총 질량 M을 가진다. 질량 M에서 항상 탈출 속도를 계산할 수 있다. R을 이 '단체'의 반경이라고 하자(크기 주의). 만약 어떤 물체가 이 물체에서 반경 방향으로 멀어지면, 에너지를 잃게 된다. 뉴턴 법칙을 이용해 R에서 무한대까지 적분함으로써 잃는 에너지를 계산할 수 있다. 이 에너지는 초기 운동 에너지에서 빼어진다. 만약 초기 운동 에너지가 중심으로부터 무한대까지의 탈출 에너지보다 작다면, 물체는 다시 별에 떨어질 것이고, 그렇지 않으면 탈출할 것이다.
이 간단한 공식은 앞으로 유용하게 쓰일 것이다. 참고로 중력 상수의 값은 다음과 같다:
G = 6.67 × 10⁻¹¹ MKSA
만약 당신이 컴퓨터 공간에 �