지오데식 문제

지오데식 문제
지오데식 문제

표면 위에 지오데식을 테이프를 이용해 그릴 수 있다는 것을 알고 계실 것입니다. 질문: 어떤 조건에서 원추형 표면 위에 그은 지오데식이 서로 겹칠 수 있을까요?

회전 원추의 한 점에서 출발하여 그 원추의 생성선 중 하나에 수직인 방향으로 지오데식을 그리는 경우를 생각해 봅시다.

이 원추의 회전축에 대해 대칭인 생성선을 고려해 봅시다 (모든 원추는 지오데식의 그림에 영향을 주지 않도록 회전 원추로 항상 변형할 수 있습니다). 위의 그림과 같이 원추를 펼쳐보면 다음과 같습니다:

이제 잘라낸 각도가 원추의 꼭짓점에 모여 있는 각도 곡률의 양을 나타낸다는 것을 알 수 있습니다. 표면이 전개 가능한 성질을 가지므로, 지오데식은 평면상의 직선으로 변환됩니다.

지오데식이 겹치기 위해서는 잘라낸 각도가 180도 이상이어야 하며, 이는 원추가 충분히 날카로워야 함을 의미합니다.

이 원추를 다시 조립하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다:

원추의 지오데식은 꼭짓점에 도달할 수 있을까?

원추의 꼭짓점에 도달할 수 있는 것은 오직 생성선들뿐입니다. 원추 위에 그은 어떤 지오데식이라도 꼭짓점에 얼마나 가까이 있든, 그 꼭짓점에서 멀어지게 됩니다. 심지어 그 지오데식이 꼭짓점에 가까워지도록 그려진 것처럼 보여도 말입니다. 단지 원추의 꼭짓점과 지오데식에 가장 가까운 점을 연결하면, 그 생성선은 지오데식과 직각으로 만나게 됩니다. 이 지오데식의 반대편을 따라 잘라내고 평평하게 펼쳐보면 됩니다.

어느 정도 날카로운 원추라도, 겹치는 부분은 계속 반복됩니다.

지오데식은 무한히 겹칠 수 있을까? 원추를 펼칠 때, 지오데식이 꼭짓점과 만나는 생성선에 "튕겨나는 것처럼" 보입니다.

위 그림에서 명백히 보이듯, "튕김"의 결과로 생성선의 두 부분은 서로 다시 겹치지 않는 방향으로 퍼져 나갑니다. 여러 번 겹치게 하려면 매우 날카로운 원추가 필요합니다.

그러나 매번 "튕김"이 일어날 때 각도는 점점 더 벌어지고 결국 2π - q라는 영역에 갇히게 됩니다. 따라서 겹치는 횟수는 유한합니다.

원추의 생성선들은 매우 특별한 집합을 이룹니다. 하지만 여기서 말하는 '원추'란 무엇일까요?

왼쪽 그림처럼 생긴 도형을 '원추'라고 볼 수 있습니다. 이 경우 지오데식-생성선은 반직선이 됩니다.

또는 오른쪽 그림처럼 생긴 도형을 원추라고 볼 수도 있습니다. 이 경우 지오데식은 무엇을 의미할까요? 두 점을 연결하는 가장 짧은 경로라면, 다음과 같은 상황에 직면할 수 있습니다:

이 경우 원추 구조를 다음과 같이 정의할 수 있습니다: 각 생성선이 두 번째 원추의 반쪽에 위치한 다른 생성선으로 이어져 단일 연속된 집합을 형성합니다. 이는 3차원 공간에서 원추 점을 구성할 수 있음을 의미합니다 (Geometrical Physics A의 11번 항목 참조).

다른 종류의 특이점

촉점은 특이점입니다. 이 외에도 다른 특이점들을 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 표면의 접선이 바뀌는 '원추점'이나 '털끝점' 같은 점들입니다.

왼쪽: 원추점이 있는 구. 오른쪽: 털끝점이 있는 구.

원추점을 핀으로 만들 수 있습니다. 이를 '원추점 생성'이라고 하며, 그 역변환은 P⁻¹로 표기할 수 있습니다.

마찬가지로 털끝점의 생성은 H로 나타낼 수 있습니다. 사실 털끝점은 원추점 생성 이후에 발생합니다. 원추점의 꼭짓각이 0이 되었을 때 털끝점이 생깁니다. 따라서 표면의 국소적 털끝점 생성을 위한 변환은 P H이며, 그 역변환은 H⁻¹P⁻¹입니다.

표면을 수정하는 다른 방법도 있습니다. 예를 들어, 이중각(디에드론)을 만들 수 있습니다. 이 변환은 D로 표기하며, 정상적인 표면 위의 닫힌 경로에만 적용할 수 있습니다. 가장 간단한 예는 구입니다. 예를 들어, 구의 적도를 따라 '접힌 부분'을 만들 수 있습니다. 이 접힌 부분은 이미 Geometrical Physics A의 서론에서 다룬 '선형 곡률'을 포함합니다.

정상적인 표면에서 이 변환이 선분에 적용된다면, 그 선분의 양 끝점은 각각 P 변환을 받게 됩니다.

구를 생각해 봅시다. 이 구는 부드럽고 변형 가능한 물체입니다. 구 안에 단단한 자를 넣고 구를 밀어보면, 자의 양 끝이 표면과 접촉하기 시작합니다. 핀 효과로 인해 원추점이 생기게 됩니다. 계속 밀어보면, 선분은 구와 접촉하게 되지만, 아직 이중각은 생기지 않습니다. 선분이 구와 접촉한다는 것은 그 구 위에 직선 경로 AB가 존재한다는 의미입니다. 그러나 이는 구가 접힌 상태라는 것을 자동으로 의미하지는 않습니다. 이는 캠핑 텐트를 설치하는 것과 비슷합니다. 두 기둥을 세우고, 그 기둥들을 연결하는 와이어를 씁니다. 그러나 텐트 내부가 압축되어 있다면, 천은 와이어 바로 아래에서 접히지 않고, 평평하게 늘어지게 됩니다.

두 P 변환의 효과: 점 A와 B에 원추점 생성

와이어를 당기면, 표면은 직선 AB를 가지게 됩니다. 그러나 바람이 불고 텐트 내부가 약간 압축되어 있다면, 선분 주변의 표면은 여전히 접선 평면의 연속성을 유지하며, 텐트의 다른 각도로 보일 수 있습니다.

바람이 멈추면, 텐트의 벽은 무게에 의해 무너지기 시작합니다. 움직임이 시작되자 접선 평면의 연속성이 깨지며, 이중각이 나타납니다. 이는 D 변환입니다.

이것은 어떤 용도로 쓸 수 있을까요?

실용적 응용을 다루기 전에, 다른 변환을 정의해야 합니다. 원추는 꼭짓점에서 '각도 곡률'이 집중되어 있습니다. 만약 원추점이 진짜 원추의 일부가 아니라, 측면이 곡률이 없는 표면이라면, 원추점 근처에서는 표면은 원추와 유사하게 보입니다. 즉, 표면의 원추점에서 '접선 원추'가 존재한다는 의미입니다.

이제 원추를 다시 생각해 봅시다. 두 원추점을 쉽게 인접시킬 수 있으며, 실제로 두 개의 평면에서 자른 조각을 이용해 물리적으로 이 표면을 만들 수 있습니다.

A와 B에서 나가는 선들은 단순히 '재봉선'이나 '접착선'일 뿐입니다. 이 선들을 제거할 수 있습니다:

원추점을 하나로 합쳐보면, 이 '이중원추'는 두 원추점의 곡률을 합친 양을 포함하는 단일 원추가 됩니다. q₁ + q₂

따라서 새로운 변환 '원추점 합병'을 고려할 수 있습니다:

ConfP
그 역변환: (ConfP)⁻¹

이제 구 위에 여덟 개의 선분을 밀어넣어 봅시다. 그러면 여덟 개의 이중각과 열여덟 개의 원추점이 생깁니다. 이 원추점을 두 개씩 합쳐보면, 결국 큐브를 얻을 수 있습니다.

이제 우리는 구를 큐브로, 큐브를 구로 변환할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 이는 표면의 다면체 표현을 구성하는 데 도움이 됩니다. 이어서, 위의 텐트처럼 이 큐브를 '풍선처럼 불어보는' 실험을 해봅시다:

모서리가 사라졌습니다. 이 결과는 구 안에서 여덟 개의 '못'을 밀어넣어 여덟 개의 원추점을 만든 것과 동일합니다. 만약 내부에 고정된 틀이 여덟 개의 끝을 벌어지게 유지하고, 내부 압력이 충분하다면, 전체 곡률이 여덟 개의 원추점에 집중될 수 있습니다. 각각의 원추점에 p/2의 곡률이 포함된다면, 여덟 개의 원추점을 조합해 이 물체를 만들 수 있습니다. 표면이 접촉하는 부분은 곡률이 보이지만, 곡률 밀도는 어디서나 0입니다. 전체 곡률은 여덟 개의 원추점에 집중되어 있습니다. 총 곡률은 구의 총 곡률인 4p와 일치합니다. 이 상태에서 내부 압력을 증가시키거나 감소시키면, 큐브는 변형되며 이번에는 벽면에 곡률이 생기게 됩니다. 그러나 총 곡률은 여전히 구의 총 곡률과 같게 유지됩니다. 아래 그림은 '압력이 낮은 큐브'를 나타냅니다.

이 경우 원추점의 곡률은 p/2를 초과하지만, 다른 곳에서 음의 곡률이 발생하여 이 초과분을 상쇄합니다.

다른 표면은 다음과 같이 만들 수 있습니다. 구 위에 여덟 개의 점을 배치하여, 이 점들이 '고정된 틀'에 의해 내부에 고정된 큐브의 여덟 꼭짓점이 되도록 합니다. 구 내부에 압력을 낮추면 원추점이 나타나며, 표면은 곡률 밀도가 연속적인 상태를 유지하면서도, 집중된 곡률과 분포된 곡률의 합이 항상 4p가 되도록 조정됩니다.

이전에 우리는 '털끝점' H 변환을 다루었으며, 이는 원추점의 꼭짓각을 0으로 만드는 변환입니다.

질문: '털끝점'에서 집중된 곡률의 양은 얼마일까요?

원추가 더 닫히고 날카로워질수록 그 안에 포함된 곡률의 양이 커집니다. 이 양은 원추를 만들 때 제거한 부채꼴의 각도로 계산할 수 있습니다 (CD Lanturlu의 "블랙홀" 항목 참조). 이 각도는 2π를 초과할 수 없습니다. 따라서 '털끝점'에 포함된 각도 곡률의 양은 2π입니다.

다른 방법으로 평가해 보면, 구 안에 선분을 두고 이를 확장해 봅시다.

각 원추점이 포함하는 곡률은 2π에 접근하게 되며, 구의 나머지 부분에 남은 곡률은 0에 접근하게 되어 총 곡률은 여전히 4π를 유지합니다.

이 털끝점은 구를 바다거북처럼 바꾸는 외에 어떤 용도가 있을까요?

구 위에 두 개의 털끝점을 중심 방향으로 만들고, 그 두 점이 서로 접하도록 해 봅시다.

두 털끝점이 접하기 직전, 구의 나머지 표면은 곡률이 0입니다. 왜냐하면 각각의 털끝점이 2π의 곡률을 포함하기 때문입니다.

접촉이 이루어지면, '목이 없는 토러스'가 생깁니다.

이제 새로운 변환 '목 넓히기' Eg와 그 역변환 '목 좁히기' Eg⁻¹을 고려해야 합니다.

또한 P 변환(원추점 생성)을 활용할 수 있습니다. 구를 프랑크푸르트 소세지처럼 변형한 후, 두 원추점을 만들고, 이 두 점을 접하게 해 봅시다.

이상한 물체가 만들어집니다:

원추점 주변에서 지오데식의 '제한적' 정의에 따라, 이 표면은 특이점이 없는 지오데식 집합을 가집니다.

다음으로, 관통 가능한 관형 통로를 여는 변환을 고려할 수 있습니다:

구를 토러스로 바꾸는 또 다른 방법입니다. 사실, 이 2차원의 정글에서 모든 것을 탐색할 수 있습니다. 구멍을 만들거나 닫는 변환도 가능합니다. 표면은 접힐 수 있고, 뚫릴 수 있으며, 찢어지고, 다시 붙이고, 뭉쳐지고, 불어나고, 줄어들며, 칠할 수도 있습니다. 그러나 수학의 세계에서만 표면이 스스로를 관통할 수 있습니다(임베딩). 그러나 죽은 자들이 마지막 심판의 날에 '영광의 몸'으로 부활할 것이라고 말합니다. 그들의 몸은 어떤 것도 통과할 수 있으며, 다른 '영광의 몸'도 만나도 괜찮습니다. 길을 건너지 않아도 되는 것입니다. 그냥 서로를 통과하면 됩니다. 따라서 임베딩의 연구는 아마도 초월적 세계의 연구를 예고하는 것이 아닐까요? 어쨌든 다음 글에서는 구와 토러스의 뒤집기 이야기를 들려드릴 것입니다.

계속해서