수학에서의 구의 뒤집기

...이 이상한 물체에 대해 궁금하셨을 것입니다. 이 작업은 10년 이상 된 것입니다. 수학 코너에서는 곧 현대 수학의 주요 주제 중 하나인 '구의 뒤집기'를 소개할 예정입니다. 이 섹션을 통해 알게 되겠지만, 구를 뒤집을 수 있으며, 접선면의 연속성을 유지하면서 구가 스스로를 뚫고 지나갈 수 있도록 허용하면 가능합니다. 저는 1970년대에 이 모험에 참여했고, 『사이언스』지 1979년 1월호에서 처음으로 그림으로 그릴 수 있는 설명을 제시했습니다. 그러나 이런 조건 하에서는 구가 뒤집을 수 있다면, 정육면체도 마찬가지로 뒤집을 수 있습니다. 정육면체의 뒤집기는 아직 발견되지 않았습니다. 이는 연구 주제입니다. 아마도 여러분 중 일부는 이 변형의 일부를 발견할 수 있을 것입니다. 어쨌든 위의 물체는 이 변형의 중심 모델입니다. 여러분이 직접 만들고 책상 위에 두기 위해 자르는 방법도 제공할 것입니다. 이러한 '중심 모델'에서는 정육면체가 절반 정도 뒤집어져 있습니다. 표면이 바깥쪽은 초록색, 안쪽은 노란색이었다고 가정합시다. 여러 겹의 교차를 거쳐 정육면체는 이 '네 귀' 형태로 변형되며, 이는 베르나르 모르의 '열린 중심 모델'의 다면체 버전입니다.

...따라서 이 정육면체는 여전히 바깥쪽이었던 부분(초록색 '귀')과 변형 과정에서 나타난 부분(노란색 '귀', 즉 물체의 내부)을 보여줍니다. D는 모델의 이중점(두 겹이 겹치는 점)을 나타내고, Q는 사중점(네 겹이 교차하는 점)을 나타냅니다. 우리는 초록색 정육면체를 이 사중 대칭 구조물로 바꾸는 데 필요한 무한한 연속 변형이 존재한다는 것을 알고 있습니다. 이러한 변형들은 모두 초록색 바깥면을 가진 구를 '네 귀' 모양(두 개의 초록색과 두 개의 노란색)으로 바꾸는 무한한 변형들의 다면체 버전일 뿐입니다. 이제 가장 단순한 중간 단계를 찾아내고, 가장 적은 면, 꼭짓점, 변을 갖는 방법을 발명하는 것이 남아 있습니다. 이는 매우 흥미로운 연구 과제입니다.

...이 과정을 통해 정육면체도 구처럼 뒤집을 수 있음을 보여줍니다(정육면체는 구의 다면체 버전일 뿐이죠). 실제로 위의 순서를 갖는 사람이 있다면, 중심 모델을 대칭축을 따라 90도 회전한 후, 순서를 거꾸로 다시 수행하면 결국 노란색 정육면체를 얻을 수 있습니다.