이제 R³에 삽입된 토러스의 호모토피 클래스로 돌아가자. 우리는 'C' 변환을 통해 두 개체를 쉽게 연결할 수 있다. 토러스를 하나 가져와서 어느 곳에서 '자기 자신을 관통'하게 하면, 원형을 이루는 이중점의 선이 생긴다:
두 가지 색상을 사용했다. 토러스의 외부는 회색, 내부는 흰색이다. 위의 자기 관통(표준 토러스의 무수한 삽입 가능성 중 하나로 이어지는)은 표면의 일부를 흰색으로 드러내게 한다.
이 개체를 토러스의 축 위에 있는 한 점에서 관찰해 보자:
위쪽에는 자기 관통으로 인해 드러난 토러스의 내부(흰색) 부분이다. 이어서 'C 변환'을 수행하여 두 개의 코너 포인트를 만들 수 있다.
화살표로 표시된 지점에서 통로를 '조이기' 한다. 이 작업은 C1과 C2라는 두 개의 코너 포인트를 생성한다:
이 두 점을 아래와 같이 이동시킬 수 있다:
이제 'C 변환'을 수행하면
-1
(두 코너 포인트의 합병):
다음과 같은 개체를 얻게 된다:
이 토러스의 삽입은 표준 토러스와 호모토피적이다.
이 'C' 변환과 그 역변환 'C⁻¹'이 R³ 내의 표면의 전단을 포함하는 삽입의 범위를 확장함으로써 흥미로운 일들을 할 수 있음을 알 수 있다. 우리는 일반적인 표면들(구, 실수 프로젝티브 평면, 토러스, 클라인 병)의 전단 집합을 구성할 수 있다. 이 집합은 몇 개의 클래스를 갖는가?
이미 구와 실수 프로젝티브 평면이 같은 클래스에 속한다는 것을 알 수 있었으며, 이는 보이의 오른쪽 표면과 왼쪽 표면도 마찬가지였다. 토러스의 전단 클래스는 몇 개인가? 나는 실수 없이 이 문제는 아직 해결되지 않았다고 생각한다. C 연산을 통해 토러스의 삽입 클래스를 다른 클래스로 옮길 수 있는가, 아니면 불가능한가? 직관적으로는 불가능하다고 생각하지만, 이는 단지 추측에 불과하다.
어떤 구성은 불가능성을 증명할 수 없지만, 가능성은 보여줄 수 있다. 누군가 다른 클래스로 건너뛸 수 있는 구성법을 찾는다면 그 정리는 사실상 증명된 것이지만, 그런 구성법을 찾지 못한다는 사실 자체가 증명이 되지는 않는다. 증거의 부재는 부재의 증거가 아니다. R³에서 토러스의 전단 클래스가 넷 존재한다고 말하거나, 단 하나만 존재한다고 말하는 것은 모두
추측
이며, 현재로서는 단지 믿음일 뿐이다.
실제로 스메일은 필립스가 첫 번째 구성법을 제시하기 전에 구의 뒤집기가 가능하다는 것을 증명했다. 그 반대도 마찬가지였다. 그러나 누구도 기하학적 직관에 완전히 반하는 이와 같은 도전을 떠올리게 되었을까?
C 변환은 구를 크로스 캡으로, 슈테이너의 로마네 표면을 거쳐 보이 표면으로 변환할 수 있다. 자세한 내용은 관련 논문을 참고하라. 이 변환을 통해 토러스를 클라인 병으로 바꿀 수 있는가? 논리적으로는 가능할 수 있지만, 이 질문에 대한 즉각적인 답은 없다.
한편, 왜 '실수 프로젝티브 평면'이라고 하는가? 보여진 물체(일측성 표면)는 유한하다. 수리오의 답변은 다음과 같다:
- 평면 위에는 '무한원'이 있다. 이 무한원을 따라 평면을 단순히 접합하면 된다.
그 무한원은 당연히 닫힌 곡선이다.
'토폴로지콘'에서는, 3/2 회전을 가진 모비우스 띠가 보이 표면으로 변하는 것을 보여주는 작은 애니메이션(피라미드)이 있다. 마지막 이미지에서는 이 표면이 원판 하나를 제외한 상태를 보여준다. 이 원판을 추가하면 표면이 완성된다. 즉, 보이 표면은 모비우스 띠에 원판 하나를 더한 것이다. 연습 문제: 토폴로지콘의 도구를 사용하여, 이 표면의 오일러-포앵카레 특성(값은 1)을 다시 계산해 보라.
반대로, 원판에서 시작하여 스스로를 관통하면서 커지게 하여, 3/2 회전 모비우스 띠에 다시 접합되도록 만들 수 있다. 이것은 또 다른 구성 방법이다.
나는 1987년 4월 4~5일 아르스 프로방스에서 열린 라캉 정신분석학 회의에서 발표한 55페이지의 보고서에서 이 그림들을 다시 찾아냈다. 이 보고서는 주최자들이 편집한 회의록에 포함되어 있다. 나는 이 글을 향후 '라캉에서의 JPP'라는 제목의 문서에서 사용할 것이다.
첫 번째 이미지: 비틀리는 원판.
다음은 자가교차 집합을 만드는 초기 단계이다:
다음 그림: 삼중점이 나타나는 순간:
그림자 처리를 멈추기로 한다. 표면이 이미 일측성으로 변하고 있기 때문이다.
다음은 표면이 자기 자신과 경계를 따라 접합될 준비가 된 상태이다:
이제 3/2 회전 모비우스 띠를 표시하여 표면을 완성한다:
다음 그림: 동일한 모비우스 띠.
그 다음은 완성된 보이 표면이다. 토폴로지콘에서 보여진 이미지들과 비교해 보면, "아래에서 본다"고 말할 수 없다. 보이 표면은 머리도 꼬리도 없기 때문이다. 지금 보이는 상태에서 우리는 그 삼중점을 볼 수 있다.
다음은 그 자가교차 집합이다:
이제 여러분의 눈앞에서 평면이 자신의 '무한원'에 접합되는 모습을 보셨을 것이다. 그래서 그 이름이 '프로젝티브 평면'이 되었으며, 처음에는 다소 이상하게 들릴 수 있다. 아마도 이는 사람들이 무한을 이렇게 가까이 보는 것이 처음일지도 모른다.
이 그림들은 이미 20년 전에 만들어졌고, 이 인터넷 사이트나 CD를 통해 비로소 공개할 수 있게 되었다. 독자는 왜 이 그림들이 'Pour la Science'나 'La Recherche'에 실리지 않았는지 궁금해할 것이다. 이 잡지들에 기사를 보낸 적은 있지만, 편집부는 주제가 흥미롭지 않다고 판단했다.
이 '기하학 도구 상자'를 통해 여러분은 새로운 표면들을 무수히 창조해내고 싶어할 것이다. 이 중 하나는 이바르스 부인이 상상한 것이다. 구를 두 방향으로 반대편에 동일한 길이의 선분을 밀어넣어 접촉할 때까지 넣어보자. 이 선분들이 두 개의 막대에 용접되어 있다고 상상해 보자:
선분이 접촉할 때, '수술'이 이루어진다. 선분을 따라 겹쳐진 면이 생기고, 양 끝에는 원뿔점이 생긴다. 아래는 이 표면의 단면이다:
동일한 표면을 입체적으로 보여준다:
표면 제작 도구 상자에서 '수도꼭지 부품' 하나:
유체가 입구를 통해 들어가면, 배출관의 외부를 따라 나간다. 그러나 배출구를 입구로 사용할 수도 있다. 그 효과는 동일하다. 이 물체는 외부를 내부로 바꾸는 일종의 기하학적 연산자이다.
이 '접합부'를 스스로 닫으면 클라인 병이 된다:
하지만 또 다른 조립 방식도 있다:
같은 조립을 입체적으로 보여준다:
이 경우 표면은 양측성이다. 어떤 표면인가?
정규적인 호모토피를 통해, 연속적인 삽입의 열을 통해 이 표면을 다음과 같이 변환할 수 있다:
여러분은 이 물체가 손잡이가 달린 상자임을 알아챘을 것이다. 그러나 이 상자는 안에서만 열 수 있다. 이 물체를 변형할 수 있다. 구멍을 통해 줄을 끼워서 당기기만 하면 된다:
결과는 다음과 같다:
이것은 토러스이다.
이제 아래의 조립을 여러분이 스스로 해결해 보시길 바란다:
이 조립은 이 '접합부' 세 개를 사용하여 만들었다.
다른 논문에서 이 '접합부'가 구의 뒤집기 과정에서 어떻게 유용한지를 살펴볼 것이다.