지오데식의 문제.
표면 위에 지오데식을 테이프로 그릴 수 있다는 것은 알고 있습니다. 질문: 어떤 조건에서 원추 위에 그린 지오데식이 겹칠 수 있을까요?
회전원추의 한 점에서 출발하여 한 생성선에 수직인 방향으로 지오데식을 그리는 경우를 생각해 봅시다.
이 원추의 회전축에 대해 대칭인 생성선을 고려해 봅시다 (모든 원추는 지오데식의 그림에 영향을 주지 않도록 회전원추로 항상 변형할 수 있습니다). 위의 그림에서 원추를 평평하게 펼치면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.
이때 잘라낸 각도는 원추 꼭짓점에 집중된 각도 곡률의 양을 나타냅니다. 표면이 전개 가능하기 때문에 지오데식은 평면상의 직선으로 변환됩니다.
지오데식이 겹치기 위해서는 잘라낸 각도가 180도를 초과해야 하며, 즉 원추가 충분히 날카로워야 함을 알 수 있습니다.
원추를 다시 조립하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.
원추의 지오데식은 꼭짓점에 도달할 수 있을까?
원추의 생성선만이 꼭짓점에 도달할 수 있습니다. 원추 위에 그린 어떤 지오데식이라도 꼭짓점에 얼마나 가까이 있든, 그 지점에서 멀어지게 됩니다. 심지어 그 지오데식이 꼭짓점에 가까워지도록 그려진 것처럼 보여도 말입니다. 원추의 꼭짓점과 지오데식에 가장 가까운 점을 연결해 보면, 그 생성선은 지오데식과 직각으로 만나게 됩니다. 이 생성선을 따라 잘라내어 평평하게 펼칠 수 있습니다.
원추가 얼마나 날카로워도, 겹치는 부분은 계속해서 반복될 뿐입니다.
지오데식은 무한히 겹칠 수 있을까? 원추를 펼칠 때, 지오데식이 꼭짓점과 만나는 생성선에 "튕겨나는 것처럼" 보입니다.
위 그림에서 명백히 알 수 있듯이, "튕김"의 결과로 생성선의 두 부분은 서로 다시 겹치지 않을 정도로 다른 방향으로 퍼지게 됩니다. 여러 번 겹치게 하려면 매우 날카로운 원추가 필요합니다.
그러나 매번 "튕김"이 일어날 때 각도는 점점 벌어져 결국 2π - q 구역 안에 갇히게 됩니다. 따라서 겹치는 횟수는 유한합니다.
원추의 생성선은 매우 특별한 집합을 이룹니다. 하지만 여기서 말하는 '원추'란 무엇을 의미할까요?
왼쪽 그림과 같은 도형을 원추라고 볼 수 있습니다. 이 경우 지오데식-생성선은 반직선이 됩니다.
하지만 오른쪽 그림과 같은 도형도 원추라고 볼 수 있습니다. 이 경우 지오데식은 무엇을 의미할까요? 두 점을 연결하는 가장 짧은 경로라면, 다음과 같은 상황에 직면할 수 있습니다.
이 경우, 각 생성선이 두 번째 반원추에 있는 유일한 다른 생성선으로 이어져 연속적인 구조를 이루는 원추 구조를 선택할 수 있습니다. 이는 3차원 공간에서 원추 점을 구성할 수 있음을 의미합니다 (Geometrical Physics A의 11번 항목 참조).
다른 종류의 특이점.
촉점은 특이점입니다. 다른 특이점도 존재할 수 있습니다. 예를 들어, 표면의 접선이 뒤로 꺾이는 점들, 즉 '털점'이라고 할 수 있는 점들입니다.
왼쪽은 촉점이 있는 구, 오른쪽은 털점이 있는 구입니다.
촉점을 만들기 위해 핀을 사용합니다. 따라서 이 변화를 '촉점 생성' P라고 하고, 그 역변환을 P⁻¹라고 할 수 있습니다.
마찬가지로 털점 생성은 H로 표현할 수 있습니다. 사실 털점 생성은 촉점 생성 이후에 발생합니다. 촉점의 꼭짓각이 0이 되었을 때 털점이 생깁니다. 따라서 표면의 국소적 털점 생성을 위한 변환은 PH이며, 그 역변환은 H⁻¹P⁻¹입니다.
표면을 수정하는 다른 방법도 있습니다. 예를 들어, 이중각을 만들어낼 수 있습니다. 이 이중각 생성을 D라고 하겠습니다. 이 변환은 폐쇄된 경로(일반적인 표면에서)에 대해 독립적으로 수행할 수 있습니다. 가장 단순한 예는 구입니다. 예를 들어, 적도를 따라 '접힌 부분'을 만들 수 있습니다. 이 접힌 부분에는 '선형 곡률'이 포함되며, 이 주제는 Geometrical Physics A의 서론에서 이미 다뤄진 바 있습니다.
일반적인 표면에서 이 변환이 선분에 영향을 준다면, 그 선분의 양 끝점은 각각 P 변환을 받게 됩니다.
구를 생각해 봅시다. 부드럽고 변형 가능한 구입니다. 구 안에 선분, 즉 단단한 자를 넣고 구를 밀어보면, 자의 양 끝점이 표면과 접촉하기 시작합니다. 핀 효과: 촉점이 생깁니다. 계속 밀어보면, 선분이 구와 접촉하지만 이중각은 아직 형성되지 않습니다. 선분이 구와 접촉한다는 것은 그 구 위에 직선 경로 AB가 존재한다는 의미입니다. 그러나 이는 구가 접힌 상태라는 것을 자동으로 의미하지는 않습니다. 이는 캠핑 텐트를 설치하는 것과 비슷합니다. 두 기둥을 세운 후, 그 기둥들을 연결하는 와이어를 설치합니다. 그러나 텐트 내부가 압축되어 있다면, 천은 와이어 아래에서 접히지 않고 매달리지 않습니다.
와이어를 당기면, 표면은 직선 AB를 갖게 됩니다. 그러나 바람이 불고 텐트가 약간 압축되어 있다면, 선분 주위의 표면은 선분을 따라 접선 평면의 연속성을 유지할 수 있습니다. 이는 텐트의 다른 각도에서 보일 수 있습니다.
바람이 멈추면, 텐트의 벽은 무게에 의해 무너지기 시작합니다. 움직임이 시작되자 접선 평면의 연속성이 깨집니다. 이중각이 나타납니다. 이 변화는 D입니다.
이것은 어떤 용도로 쓸 수 있을까요?
실용적 응용을 다루기 전에 다른 변환을 정의해야 합니다. 원추를 생각해 봅시다. 원추는 '각도 곡률'을 집중시키는 촉점이 있습니다. 만약 촉점이 '진짜' 원추의 일부가 아니며, 측면이 곡률이 없는 원추라면, 촉점 근처에서는 표면은 원추와 유사합니다. 즉, 표면의 촉점에서는 '접선 원추'가 존재한다는 의미입니다.
하지만 다시 원추로 돌아가 봅시다. 두 촉점을 쉽게 인접시킬 수 있습니다. 실제로 두 개의 평면에서 자른 부분을 이용해 이 표면을 물리적으로 만들 수도 있습니다.
A와 B에서 나가는 선들은 단순히 '봉합선' 또는 '접착선'일 뿐입니다. 이 선들을 제거할 수 있습니다.
촉점을 합쳐서, 이 '이중원추'는 두 촉점의 곡률 합만큼의 각도 곡률을 포함하는 단일 원추로 변환됩니다.
q₁ + q₂
따라서 이제 '촉점의 합병'이라는 새로운 변환을 고려할 수 있습니다:
Conf
그 역변환은 다음과 같습니다:
(Confₚ)⁻¹
이제 구 위에 여덟 개의 선분을 밀어넣어 봅시다. 그러면 여덟 개의 이중각과十六条의 촉점이 생깁니다. 이 촉점을 두 개씩 합쳐서... 정육면체를 얻을 수 있습니다.
이제 우리는 구를 정육면체로, 그리고 정육면체를 구로 변환할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 마찬가지로, 이는 표면의 다면체 표현을 구성하는 데 도움이 됩니다. 이제 이 정육면체를 텐트처럼 '부풀려' 봅시다:
모서리가 사라졌습니다. 이는 구 안에서 여덟 개의 '못'을 박아 넣어 여덟 개의 촉점을 만들었을 때 얻을 수 있는 결과와 같습니다. 만약 내부에 고정 프레임이 여덟 개의 끝을 떨어뜨리고 있다면, 내부 압력이 충분히 크다면 전체 곡률이 여덟 개의 촉점에 집중될 수 있습니다. 각각의 촉점에 p/2의 곡률이 포함된다면, 이 여덟 개의 촉점을 조합하여 이 물체를 만들 수 있습니다. 표면이 접촉할 때 곡률이 보이지만, 곡률 밀도는 어디서나 0입니다. 전체 곡률은 여덟 개의 촉점에 집중되어 있습니다. 총 곡률은 구의 총 곡률인 4π를 다시 얻게 됩니다. 이 시점에서 내부 압력을 증가시키거나 감소시키면, 정육면체는 변형되며, 이번에는 벽에 곡률이 포함되지만, 합계는 여전히 구의 총 곡률과 같게 유지됩니다. 아래 그림은 '압력이 낮은 정육면체'를 나타냅니다.
이 경우 촉점의 곡률은 p/2보다 큽니다. 그러나 다른 곳에서 음의 곡률이 나타나서 이 과잉을 상쇄합니다.
다른 표면은 구를 가져와, 구 위에 여덟 개의 점을 배치하여, 이 점들이 정육면체의 여덟 꼭짓점이 되도록 하되, 내부에 강성 프레임으로 고정시킨 후, 구 내부에 압력을 가하면 촉점이 생기게 됩니다. 이때 표면은 곡률 밀도가 연속적인 상태를 유지하면서, 집중되거나 분포된 곡률의 합이 항상 4π가 되도록 조정됩니다.
위에서 우리는 털점 생성 H 변환을 언급했습니다. 이는 촉점의 꼭짓각을 0으로 만드는 변환입니다.
질문: 털점에서 집중된 곡률의 양은 얼마인가요?
알다시피, 원추가 더 닫혀 있고 날카로우면, 그 안에 포함된 곡률의 양이 더 큽니다. 이 양은 원추를 만들 때 제거된 부채꼴의 각도 크기로 계산할 수 있습니다 (CD Lanturlu의 "블랙홀" 참조). 이 각도는 2π를 초과할 수 없습니다. 따라서 털점에 포함된 각도 곡률의 양은 2π입니다.
다른 계산 방법: 구 안에 선분을 놓고, 이 선분을 확장해 봅시다.
각 촉점이 포함하는 곡률은 2π에 수렴하며, 구 전체의 나머지 부분이 가진 곡률은 0에 수렴하여, 총 곡률이 여전히 4π를 유지하게 됩니다.
이 털점은 구를 해파리처럼 바꾸는 외에는 어떤 용도가 있을까요?
구 위에 두 개의 털점을 중심 방향으로 만들고, 이 두 점이 서로 접할 때까지 가까이 가져옵니다.
두 털점이 접하기 직전, 구의 나머지 표면은 곡률이 0입니다. 왜냐하면 각 털점이 2π의 곡률을 포함하기 때문입니다.
접촉이 이루어지면, '목이 없는 토러스'가 됩니다.
이제 새로운 변환 '목의 확장' Eg와 그 역변환인 '목의 수축' Eg⁻¹을 고려해야 합니다.
또한 P 변환(촉점 생성)을 이용해 다양한 실험을 할 수 있습니다. 먼저 구를 프랑크푸르트 소세지처럼 변형한 후, 두 촉점을 만들고, 이 두 점을 서로 접하게 합니다.
이렇게 얻어진 이상한 물체는 다음과 같습니다.
촉점 근처에서 지오데식의 '제한적' 정의에 따르면, 이 표면은 특이점이 없는 지오데식 집합을 가집니다.
이제 새로운 변환을 적용하여 관통형 통로를 열 수 있습니다.
구를 토러스로 바꾸는 또 다른 방법입니다. 사실 이 2차원의 정글 안에서는 모든 것을 탐색할 수 있습니다. 구멍을 만들거나 닫을 수 있으며, 표면은 접히고, 뚫리고, 찢기고, 다시 붙이고, 뭉개지고, 부풀리고, 줄이고, 칠할 수 있습니다. 그러나 수학의 세계에서만 표면이 스스로를 관통할 수 있습니다 (침습). 그러나 죽은 자들이 마지막 심판의 날에 '영광의 몸'으로 부활할 것이라고 말합니다. 그들은 어떤 것도, 다른 '영광의 몸'도 관통할 수 있게 됩니다. 서로 마주칠 때, 길을 바꾸는 것보다는 서로를 통과하면 되는 것입니다. 따라서 침습의 연구는 아마도 철학의 연구를 예견할지도 모릅니다. 어쨌든 다음 기사에서는 구와 토러스의 뒤집기 이야기를 들려드릴 것입니다.
계속됩니다.
이미지
