새로운 우주론, 우주, 쌍둥이 우주
1994년 '뉴보 코시멘토'(Nuovo Cimento)에 게재된 논문의 서문
...이 작업의 출발점은 1977년에 있다. 파리 과학 아카데미의 '보고서'에 게재된 두 개의 논문:
J.P. 페티: "시간 화살이 반대 방향인 반대 우주", 1977년 5월 8일, 제285권, pp. 1217-1221
J.P. 페티: "시간의 거울 속 이미지와 상호작용하는 우주", 1977년 6월 6일, 제284권, A계열, pp. 1413-1416
...이후 논문에서 우리는 지구 근방(우주적 규모에서)의 점들과 두 번째 우주(우리는 이를 '쌍둥이 우주(twin universe)', '그림자 우주(shadow universe)', 또는 '유령 우주(ghost universe)'라고 부르며, 이 이름들은 우리 마음속에서 동일한 의미를 지닌다)의 공액 점들 사이에 점 대 점의 관계(적합한 대칭 변환)를 설정하려 했다. 이를 위해 우리는 기하학적 대상의 위상 구조에 대한 가정을 전제로 하는 '대척성' 관계를 사용했다. 그러나 이후 우리는 이것이 반드시 필요하지 않다는 것을 깨달았다. 왜냐하면 국소 구조(F, F*)를 '골격 다양체(skeleton manifold)'의 이중 겹침(double covering)'으로 정의할 수 있기 때문이다. 이 경우 구조는 이중 겹침된 사영공간 P3에 해당하며, 이는 2차원에서 더 잘 알려진 사영공간 P2의 3차원 버전과 동치이다. 따라서 가장 잘 알려진 표현은 1902년 오스트리아의 움프레르 보이(Werner Boy)가 발견한 표면이며, 그림 184를 참조하라(이미지가 완성되면 애니메이션 형태로 제공될 예정이다).
...보이는 교수는 위대한 수학자 힐베르트의 제자였으며, 그는 제자의 발명에 매우 만족했다고 밝혔다. 소소한 이야기를 하자면, 발명 후 보이는 대학을 떠나 더 이상 그의 소식을 듣지 못했다. 역사학자들이 그의 흔적을 찾기 위해 시행한 모든 조사는 실패했으며, 그가 폐렴으로 사망했는지, 아니면 수도사처럼 생을 마감했는지 여부는 알려지지 않았다.
...기하학자들은 구면 S2의 모든 점이 사영평면 P2와 일치시킬 수 있음을 알고 있다. 이는 아래 논문의 그림 10에서 언급된 바와 같다. 북극이 남극과 일치되며, 적도는 보이 표면의 '가짜 적도'에 따라 스스로 감겨진다. 이 이중 겹침 구조는 논문의 그림 11에 표시되어 있다. 특히 2차원에서는 이 연산이 반대칭적인 물체(거울상)를 일치시킨다는 점에 주목할 필요가 있다. 그림 12와 13은 이로 인해 덩어리들이 대척 지역의 빈 공간에 어떻게 배치되는지를 보여주는 교육적 이미지이다.
...이 이중 겹침 구조는 3차원과 4차원으로 확장될 수 있으며, 각각 구면 S3과 S4가 사영공간 P3과 P4를 겹치게 된다.
이제 더 깊이 들어가기 전에, 독자가 이 이상한 보이 표면의 기하학에 익숙해지도록 도와주고자 한다. 또한 독자는 '톱로지콘'(Ed. Belin, 1984)에서 이 대상의 다양한 변형을 찾아볼 수 있다.
...독자에게 당황스러운 점은 이 표면이 자기 자신과 겹치는 부분을 가지며, 이는 '삼엽초 모양의 곡선'으로 나타나 선박의 나선과 닮아 있다는 점이다:
...왼쪽 그림에서는 세 겹의 표면이 교차하는 삼중점(triple point)을 보여주기 위해 일부 구멍을 뚫었다. 이 표면은 매우 특이하다. 사실 이 대상은 위에서 언급한 3차원 표현 공간(concept of representation space)을 설명하는 데 매우 훌륭한 예시이다.
...삼중점 T와 자기 교차 곡선은 P2를 R3에 표현하는 방식 때문일 뿐이다. 구면이나 토러스는 R3에 '삽입(plunge)'할 수 있다. 즉, 표면이 스스로 겹치지 않는 위상적으로 동치인 표현이 가능하다. 그러나 P2를 R3에 '삽입'하는 것은 불가능하다. 오직 '침입(immersion)'만 가능하다. 따라서 위의 그림(보이 표면)은 P2를 R3에 '침입'한 것이다. 2차원 객체의 '침입'이란, R3에서 표현할 때 두 개의 평면이 접하는 선(자기 교차 곡선)이 존재하며, 이 선 위에는 두 개의 접평면이 존재하고, 세 겹의 표면이 교차하는 삼중점이 존재하는 방식이다. 보이 표면은 P2를 R3에 침입하는 무수한 방법 중 하나일 뿐이다. 다른 예들은 사이트에 포함될 논문, '사영평면의 다양한 얼굴들'에서 찾을 수 있다.
...보이 표면의 이미지를 얻는 것은 그리 어렵지 않다. 우리는 이를 위해 고안하고 발표한 매개변수 표현 방식을 사용하면 된다.
---> 독자는 '수학(MATHEMATIQUES)' 하위 사이트에서 1981년 파리 과학 아카데미에 발표된 보고서의 복제본을 포함하여, J. 수리오(J. Souriau, 유명한 수학자가 아니라 그의 아들, 이후 정보학자로 전환한 제롬)와 함께 발표한 논문을 찾을 수 있다. 참고 문헌은 다음과 같다:
"보이 표면의 해석적 표현", 파리 과학 아카데미 보고서, 제293권 (1981년 10월 5일), 1계열, pp. 269-272
여기서 표면이 타원형 경선을 가짐을 보여준다. 이 성질은 표면을 쉽게 그릴 수 있게 해준다. 아래는 내 만화책 '톱로지콘'의 표지 페이지에 포함된 프로그램이다.
BASIC 프로그램
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM 이하 3개의 좌표
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM 점을 표시하는 명령
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
... 참고로, 이 타원형 경선을 이용해 보이 표면을 표현할 수 있다는 발견은 이후 수학자 아페리가 6차의 암묵적 형태로 첫 번째 표현식 f(x, y, z) = 0을 얻는 데 기여했다. 이 표현식은 여기에 재현하지 않겠다(매우 복잡하며, 더 단순한 표현이 존재할 것이라 확신한다. 그러나 이는 별도의 문서로 사이트 '수학(MATHÉMATIQUES)'에 포함될 예정이다).
...클라인 병은 독자들에게 더 잘 알려져 있다. 이 역시 R3에 '삽입'하는 것은 불가능하다. 대신 가장 전형적인 형태로, 자기 교차가 단일 폐곡선인 침입 형태로 나타난다.
...클라인 병의 이중 겹침은 토러스 T2이며, 보이 표면(P2)의 이중 겹침 역시 구면 S2이다. 보이 표면에 관심 있는 독자는 파리의 '발견의 궁전(Palais de la Découverte)'의 한 실내에 3차원 모형을 찾을 수 있다. 이 모형은 우리가 더 거친 모형을 만들고, 플라스티시안 막스 소즈(Max Sauze)에게 제작을 의뢰한 것이다.
...이러한 이중 겹침 작업에서, 객체의 경선과 위도선은 스스로 감겨진다. 예를 들어 토러스의 '위도선'(삽입과 관련됨)이 어떻게 되는지를 보여줄 수 있다:
...이 토러스의 삽입에서, 위도선은 표면의 곡선이지만, 지오데식은 아니다(단지 '목줄 원'만 해당). 토러스의 경선 역시 표준 삽입에서 지오데식이다:
...아래는 두 가지를 겹쳐 본 것이다:
...이러한 주제들은 별도의 글에서 구면과 토러스의 뒤집기(retrograde)에 대해 다룰 것이며, 이 역시 사이트에 포함될 예정이다.
...이 산책은 단지 우리가 논문을 장식하는 도면들에서 자기 교차선이 3차원 현실의 교육적 표현이 아니라는 점을 이해하도록 돕기 위한 것이다. 만약 우주가 이러한 위상 구조를 가진다면 말이다.
...이 논문은 4절에서 분석적 해법으로 제시된 공액 구조에 의해 물체를 봉인하는 첫 번째 접근법이었다. 또한 피에르 미디(Pierre Midy)가 Cray-1에서 수행한 수치 시뮬레이션(2차원)의 초안도 포함되어 있다.
