결과물의 질량 문제(p3)
4) 구대칭 해
…1916년 에딩턴은 볼라소프 방정식과 포아송 방정식을 결합하여 구대칭의 정상 상태 해를 도출하였다. 그는 속도의 타원체가 구대칭이며 시스템의 중심을 향하고 있다고 가정하였다.
그림 1 (ga3114): 에딩턴 유형의 해와 관련된 속도의 타원체.
에딩턴은 질량 밀도와 중력 포텐셜 사이의 다음 관계를 도출하였다:
(20)
이는 중력 포텐셜 Ψ 내에서 충돌이 없는 기체에서 물질의 정상 분포를 나타내며, 중력력이 압력과 균형을 이룬다. 반대편 영역에 동일한 형태의 해를 고려하자:
(21)
이러한 경우, 다음 방정식을 해결해야 한다:
(22)
다음과 같이 두자:
(23)
다음과 같은 무차원 양을 도입하자:
(24)
다음과 같은 결과를 얻는다:
(24 bis)
이는 수치 계산을 통해 해결할 수 있다. 다음의 초기 조건을 사용할 수 있다:
φ'₀ = 0
φ"₀ = 10
λ = 10
그림 2: 구대칭의 에딩턴 유형 해. 중력 포텐셜
그림 3: 구대칭의 에딩턴 유형 해. 질량 밀도. 만약 한 개의 구조가 한 접점에 존재한다면, 두 번째 접점의 공통 영역에 관련된 희박한 광곽이 존재한다.
원본 버전(영어)
The missing mass problem (p3)
4) Spherically symmetric solution
...In 1916 Eddington derived a spherically symmetric steady-state solution, combining the Vlasov and the Poisson equations. He assumed that the ellipsoid of the velocities was spherically symmetric and pointed towards the center of the system.
Figure 1 (ga3114): Ellipsoid of velocities corresponding to an Eddington-type solution.
Eddington derived the following relation between the mass density and the gravitational potential
(20)
which represents a steady-state distribution of matter in a collision-free gas, in a gravitational potential Ψ, in which the gravitational force balances the pressure force. Let us take the same kind of a solution for the antipodal region
(21)
So that we have to solve the following equation
(22)
Take
(23)
Introduce the following adimensional quantities :
(24)
We get
(24)
which can be solved by numerical computation. We can take the following initial conditions
φ'₀ = 0
φ"₀ = 10
λ = 10
Figure 2 : Spherically symmetric Eddington-type solution. The gravitational potential
Figure 3 : Spherically symmetric Eddington-type solution. Mass densities. If a cluster exists in one fold, an associated diffuse halo exists in the conjugated region of the second fold.