이중 우주론 유령물질-물질 우주물리학. 1. 기하학적 틀. 물질 시대와 뉴턴 근사. (p2)
2) 물질에 의해 지배되는 우주모형.
...두 우주가 등방성과 균일성을 가진다고 가정하면, 구면 좌표계에서의 계량은 다음과 같다:
(17)
(18)
...이 두 계량은 각각의 접힘에 해당하는 좌표계에서 표현된다. k와 k는 곡률 지수이다.
무차원 고유 시간을 도입하자:
(19) s = cT s s = - cT s
무차원 척도 인자도 도입하자:
(20)
R = cT R
R* = cT R*
계량은 다음과 같이 된다:
(21)
(22)
여기서 공간 부분은:
(23)
dh² = du² + u² ( dq² + sin² q dj²)
같은 방식으로, 장 방정식계를 무차원 형태로 표현할 수 있다:
(24)
(25)
즉,
(26)
여기서
(27)
여기서 첨자 r은 복사에, 첨자 m은 물질에 해당한다.
c(아인슈타인 상수) → - 8 π
R → R
R* → R*
r = ro w
r* = ro w
p = po p
p* = po p
{ ro , ro , po , po }는 특성적인 질량 밀도와 압력이다. 본 논문에서는 물질 시대를 다룬다. 우리는 복사 시대의 끝에서 물질의 밀도와 압력이 같다고 가정하고 다음과 같이 쓴다:
(27b)
ro = ro ; po = po
물질 시대에는 다음과 같다:
(28)
장 방정식계는 다음과 같이 된다:
(29)
(30)
텐서는 무차원 형태로 쓰인다:
(31)
여기서 (w , w*)는 무차원 물질 밀도이고, (p , p*)는 무차원 물질 압력이며, 모두 양수이다. 우리는 다음의 네 개의 미분 방정식 계를 얻는다:
(32-a)
(33-b)
(32-c)
(32-d)
...두 접힘에서의 열속도가 광속에 비해 무시할 만큼 작다고 가정하면, 압력을 무시할 수 있다(먼지 우주). 초기 단계에서, 분리가 발생한 직후에는 w = w*가 되고, 이 계는 다음과 같이 된다: