이중 우주론 물질-유령물질 천체물리학. 2:
공액 정상 상태 메트릭스. 정확한 해. (p2)
3) 슈바르츠실트 유형의 결합된 내부 정확한 해.
접힌 부분 F*가 비어 있고, 접힌 부분 F에 질량 M, 반지름 ro, 일정한 질량 밀도 r를 가진 질량이 있는 물체가 포함된 경우를 고려하자.
이는 다음 방정식 집합과 일치한다:
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
T* = 0. 고전 이론에서는 슈바르츠실트 내부 해를 도출하여 T 텐서에 다음과 같은 형태를 부여한다:
(14)
선택된 메트릭스 형태는:
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
장 방정식에서 유도된 미분 방정식의 우변에는 다음과 같은 항들이 포함된다:
(16)
두 번째 항은 압력이 장에 미치는 기여를 나타낸다. 중간 압력에서는 무시할 수 있다. 기체의 경우, 이는 << c의 근사와 일치하며, 여기서 첫 번째는 열 운동 속도이다. 물체가 고체(행성)인 경우, 압력 기여는 작으며, 중성자성인 경우는 이에 대해 단정할 수 없다. 이후 우리는 물리적으로 타당한 가정을 고려할 것이다:
(17)
이 경우 미분 방정식은 더 단순한 형태로 쓸 수 있다:
(18)
(19)
(20)
c는 아인슈타인 상수이다:
(21)
먼저 (18)과 (19)를 더하면:
(22)
c가 음수이므로, l' + n'은 양수이거나 0이다. (18) + (19) + (20) 시스템에서 다음을 얻는다:
(23)
(24)
(25)
다음과 같이 쓴다:
(26)
(23)과 결합하면:
(27)
m(r)는 슈바르츠실트 길이와 유사한 길이이다. M(r)이 기하학적 질량으로서의 역할을 한다는 것이 다시 확인된다.
(24)는 해결할 수 있다. 다음을 쓴다:
(28)
또는:
(29)
다음을 도입하자:
(30)
그러면:
(31)
A는 상수이다. 그러면 내부 메트릭스는 다음과 같이 된다:
(32)
r = ro일 때, 외부 메트릭스는 다음과 같이 된다:
(33)
또는:
(34)
또는:
(35)
외부 메트릭스와의 연결은 다음 조건이 충족될 때 이루어진다:
(36)
우리의 내부 해( p » 0)는 다음과 같이 된다:
(37)
우리가 시리즈 전개를 수행하는 방식은 다음과 같다:
(38)
우리의 내부 메트릭스와 비영 압력이 있는 고전적 해[7]는 점근적으로 일치한다.
