이중 우주론 물질, 유령 물질, 천체물리학. 2: 공액 정상 상태 메트릭. 정확한 해. (p4)
3) 공액 스칼라 곡률.
일반적인 장 방정식 시스템 (1) + (2)로부터 다음을 얻는다:
(58)
R* = - R
F와 F* 접점에 속하는 두 개의 공액 포인트 M과 M에서 스칼라 곡률 R과 R는 서로 반대이다. 이와 같은 성질을 만족하는 기하학을 '공액 기하학'이라 부른다. 이 개념을 교육적인 이미지로 설명해 보자. 그림 1을 보자: 위쪽에는 매끄러운 '포지코네'(posicone), 아래쪽에는 매끄러운 '네가코네'(negacone)가 서로 마주보고 있다. 매끄러운 포지코네는 원뿔을 잘라낸 형태로, 원주를 따라 구의 일부(일정한 각도 곡률 밀도를 가진 표면)와 연결되어 있다.
그림 1: 공액 기하학의 교육적 이미지 (R = -R)*. 질량 M은 접점 F에 있다. 접점 F*는 비어 있다.
표시: 공액 포인트 쌍 (M, M*).
말 등반은 음의 곡률에 해당하는 구의 일부(일정한 각도 곡률 밀도를 가진 표면)와 같다. 구는 총 곡률이 4π이다. 구의 일부는 다음의 각도 곡률량 q를 가진다:
(59)
원뿔은 각도 곡률이 집중된 점 S를 포함하는 표면으로, 양의 각도 곡률 q > 0에 해당한다. 우리는 그림 2와 같이 만들 수 있다.
그림 2: "포지코네"의 구성.
원뿔 정상부에 포함된 각도 곡률의 정의: 세 개의 지오데식으로 이루어진 삼각형을 그릴 때, 두 가지 경우가 있다. 정상부를 포함하지 않는다면, 각도의 합은 유클리드 합인 π이다. 정상부를 포함한다면, 이 합은 π와 해당하는 점 곡률 q의 합이 된다. 그림 3을 참조하라.
그림 3: 정상부에 위치한 양의 점 각도 곡률
포지코네의 정상부에 위치함.
같은 방식으로, 다음처럼 '네가코네'를 만들 수 있다:
그림 4: 점 음의 각도 곡률을 가진 '네가코네'의 구성.
점 S에 위치함.
우리는 기본 곡률 dqi에 해당하는 작은 포지코네들의 집합을 만들고, 이들을 서로 붙일 수 있다. 그림 5를 참조하라.
그림 5: 기본 포지코네의 집합.
각도 곡률은 가산량이다. 요소의 수가 무한대로 증가하고 dqi가 0에 가까워지면, 전체 물체는 유한한 매끄러운 표면으로 수렴한다. 이 표면의 어느 부분에서나 각도 곡률(각도 dqi의 합)을 측정할 수 있다. 또한, 다음처럼 지역적 각도 곡률 밀도를 정의할 수 있다:
(60)
이렇게 조립된 기본 포지코네들의 집합은 접선 평면을 가진 매끄러운 표면으로 수렴한다. 표면에서 C(M)이 일정하고 양수이면, 표면은 구이거나 구의 일부이다. 구 표면에서의 각도 곡률 밀도 적분은 총 곡률 4π를 제공한다. C(M)이 0이면, 표면은 지역적으로 평평하다(평면, 원뿔의 벽, 실린더 등).