이중 우주론 물질, 유령 물질, 천체물리학. 2: 공액 정상 상태 메트릭스. 정확한 해. (p5)
이 작업은 음의 각도 곡률 밀도를 가진 연결된 음각원(네가콘)으로 확장할 수 있다. 유클리드 표면에서는 C(M) = 0이 항상 성립한다. 기본적인 음각원과 평면의 작은 부분을 사용하여, M점의 함수인 양의, 음의 또는 0인 각도 곡률 밀도 C(M)가 연속적인 모든 규칙적인 표면을 만들 수 있다. 이제 우리는 절단된 양각원을 만들어서 구의 일부와 연결할 수 있다. 각도 곡률 q가 같을 때 접평면의 연속성이 보장된다. 그림 6을 참조하라.
그림 .6 : 매끄러운 "양각원" 만들기.
일정한 음의 각도 곡률을 가진 표면은 말 등반자라고 불린다. 그림 7을 참조하라. 그러한 표면에서 점 P를 중심으로 곡선을 그릴 수 있다.
그림 .7 : 매끄러운 "음각원" 만들기.
그림 1에 표시된 바와 같이, 매끄러운 양각원과 매끄러운 음각원을 서로 마주하게 놓을 수 있다. 공액점 M과 M*는 반대되는 곡률 밀도를 가진다:
(61)
C(M*) = - C(M)
두 공액 표면의 유클리드 부분에서는 이러한 곡률이 0이다:
(62)
C(M*) = C(M) = 0
우리는 2차원 공액 기하학의 예를 얻는다. 분명히, 우리의 4차원 접힘과 마찬가지로, 접힘의 한 기하선의 이미지는 다른 기하선이 절대 아니다. 그림 8과 9을 참조하라.
그림 .8 : 매끄러운 양각원 F의 기하선의 이미지(공액점으로 구성됨)는 매끄러운 음각원 F*의 기하선이 아니다.
** ** 그림 .9 : 매끄러운 음각원 F*의 기하선의 이미지(공액점으로 구성됨)는 매끄러운 음각원 F의 기하선이 아니다. ** **
이것은 단지 교육용 이미지일 뿐이지만, 공액 기하학의 기본 개념을 보여준다. 일반 상대성 이론에서는 서명이 (+ - - -)인 쌍곡 기하학을 가진 4차원 초표면을 다룬다.