중력 우주론 및 천체물리학의 이중 우주 유령 물질, 천체물리학적 물질.6. 나선 구조.(p3)
- 2차원 수치 시뮬레이션을 위한 초기 조건을 어떻게 정의할 것인가?
포아송 방정식과 볼라소프 방정식 쌍에 대한 2차원 에딩턴 유사 해를 구성하기.
3차원에서 비균일(타원형) 볼라소프 방정식의 해는 오랫동안 집중적으로 연구되어 왔다. 아래에서는 2차원 운동과 위치를 다루므로, 볼라소프 방정식에 대한 2차원 자기 일관된 타원형 해를 구성해야 한다.
볼라소프 방정식을 다음과 같이 쓰자:
(1)
여기서:
(2)
f(x, y, u, v, t)는 속도 분포 함수이다. 방정식 (1)은 특이(잔여 또는 열적) 속도 C = (u, v)를 기준으로 이중 텐서 표기법으로 표현되었다.
<V>는 거시적 속도이며, m은 입자의 질량이다. ****는 위치 벡터 (x, y)이다.
..
볼드체 문자는 벡터를 나타낸다. 방정식 (2)의 마지막 항은 두 개의 이중 텐서의 스칼라 곱을 의미한다(참고 문헌 [20]). 이제 2차원 타원형 에딩턴 유사 해를 도입하자:
(3)
여기서 C는 잔여 속도, 즉 열적 속도이다. 정상 상태 조건에서 볼라소프 방정식은 다음과 같이 된다:
(4)
볼라소프 해와 결합하면 다음을 얻는다:
(5)
이는 열적 속도 C의 성분 u와 v에 대한 3차 다항식이다. 다음 해가 나타난다:
(6)
그러면:
(7)
3차 항에서:
(8)
2차 항에서:
(9)
결합하면 다음 연립 방정식을 얻는다:
(10)
또는:
(11)
그러면:
(12)
분포 함수는 다음과 같이 된다:
(13)
여기서 C는 열적 속도 C의 반경 성분이며, Cp는 그 자오선 성분이다. 그러면 다음을 얻는다:
(14)
전통적인 3차원 에딩턴 해에서는 시스템 중심을 향하는 주축을 가진 타원체 형태의 속도 분포를 얻었다. 그림 6 참조.
그림 6: 에딩턴 유형 해에 해당하는 속도 타원체.
현재의 2차원 에딩턴 유사 타원형 해에서는 주축이 일정하고 시스템 중심을 향하는 속도 타원을 얻는다. 중심부에서는 속도 타원이 원이 되며(2차원 맥스웰-볼츠만 속도 분포), 나중에 보일 것처럼 주축 (평균 반경 열적 속도)는 반경 방향 거리 v에 대해 일정하다. 수직축(평균 자오선 열적 속도)은 무한대에서 0으로 수렴한다. 그림 7 참조.
그림 7: 2차원 에딩턴 유사 해에서 중심으로부터의 거리에 따라 변화하는 속도 타원의 진화.