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서문.
...물리학은 케이크와 같습니다:
(1)
- 첫 번째 층: 관찰, 실험.
- 두 번째 층: 미분 방정식.
- 세 번째 층: 기하학 - 네 번째 층: 군 이론.
군은 기하학을 지배하며, 아름다운 미분 방정식을 만들어냅니다.
미분 방정식을 통해 우리는 무언가를 구축하고, 그 것을 물리적 사실을 설명하거나 예측하는 데 사용합니다.
...역사적으로 인간은 사실, 관찰, 측정을 수행하면서 이를 연구하고 체계화했습니다. 이후 그들은 보존 법칙과 "물리 법칙"을 상상했습니다. 이 세기 초반에, 그들은 물리 법칙이 기하학과 관련이 있을 수 있다고 생각하기 시작했습니다.
그 시기에, 펠릭스 클라인은 물어보았습니다: 어떤 것이 기하학입니까?
그가 말한 것은 "기하학"이 아니라 "한 가지 기하학"이었음을 주목하십시오(에를랑겐 프로그램).
...클라인, 리, 카르탕 등은 외관상 기하학 뒤에 무언가가 숨어 있음을 보여주었습니다. 기하학은 물리학에서 지식의 최종 층이 아니었고, 군 구조로부터 기하학을 구성할 수 있었습니다.
이후 우리는 군, 기하학, 물리학 사이의 관계를 보여주려고 노력할 것입니다.
그 사이, 군에 관해서는 무엇이든?
...저는 그것을 논리라고 말하고 싶습니다. 하지만 논리는 마지막 거주자가 쿠르트 고델, 위험한 화염 조심주의자였던 방이었습니다. 그 유명한 정리로 인해 그는 가구에 불을 지르고, 완전히 파괴시켰습니다. 이 비극 이후, 방은 비어 있습니다.
...그러므로 저는 그곳에 물음표를 붙였습니다.
군.
...군이란 무엇입니까? 이후에 우리는 물리학의 동적 군에 한정하여 연구할 것입니다: 정의된 공리에 따르는 (n,n) 행렬의 집합입니다. 이 행렬들 g는 군 G의 원소로, 서로 행렬 곱셈(행-열)을 통해 작용합니다. 이러한 정사각 행렬 중에는 단위 행렬이 포함됩니다.
(1-bis)
...군은 노르웨이 수학자 소푸스 리가 정의한 공리에 따라 작동합니다. 이 공리는 행렬 집합보다 훨씬 일반적인 대상에 적용됩니다. 하지만 우리는 이 특정 세계에만 집중하고 행렬 곱셈을 사용할 것입니다:
x
1 - 군 이론의 첫 번째 공리:
군 G의 두 원소 g1과 g2의 곱:
(2)
g3 = g1 x g2
는 다음을 만족합니다:
(3)
행렬로 구성된 군의 예를 들어보겠습니다. 이 군은 단일 매개변수 a에 의존합니다. 원소는 다음과 같습니다:
(4)
두 원소의 곱은 다음과 같습니다:
(5)
또는:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
행렬 곱셈을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
(7)
이는 g1과 g2와 유사합니다. 즉:
(8)
반대 예: 단일 매개변수 a에 의존하는 다음 행렬 집합을 고려해보겠습니다:
(9)
두 원소의 곱은 다음과 같습니다:
(10)
이는 (5)와 본질적으로 다릅니다.
2 - 군 이론의 두 번째 공리:
원소의 집합에서, 어떤 다른 원소와 결합했을 때 다음을 만족하는 특별한 원소인 중립 원소 e를 찾아야 합니다:
(11) g x **e = e **x **g **= g
정사각 행렬로 구성된 군에서는 이 중립 원소 e가 항상 단위 행렬 1입니다.
(12) g x 1 = 1 x g = g 스칼라를 나타내기 위해 로만체를 사용하고, 행렬, 행, 열과 같은 다른 물체에는 굵은 글씨체를 사용합니다.
처음 예제의 군을 다시 생각해보겠습니다:
(13)
다음 사실을 주목하세요:
(14)
원본 버전(영어)
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Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
(2)
g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
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which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
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The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
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Remark that :
(14)