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3 - 군 이론의 세 번째 공리:
군의 모든 원소는 그 역원을 가져야 하며, 이를 g⁻¹로 표기하고 다음과 같이 정의한다:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
우리의 예에서:
(16)
즉, b = -a 또는:
(17) g⁻¹(a) = g(-a)
여기서 역행렬 계산은 자명하다.
주어진 정사각행렬이 역행렬을 가지기 위한 조건은 무엇인가?
...임의의 정사각행렬에 대해, 이를 행렬식이라고 하는 스칼라를 부여할 수 있다. 정의는 선형대수학 전문 서적을 참고하라. 이 행렬식은 det(g)로 표기한다.
또한 일반적인 정리가 존재한다:
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
대각행렬의 행렬식은 다음과 같다:
(18)
따라서: det(1) = 1
왜냐하면 1은 대각행렬이기 때문이다.
행렬의 역원 정의에 따르면:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
그러므로:
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
...만약 det(g) = 0이라면, 조건 (19)는 만족될 수 없다. 특정 원소의 행렬식이 0인 행렬 집합은 세 번째 공리를 만족하지 못하므로 군을 형성할 수 없다.
또한:
(20)
4 - 군 이론의 네 번째 공리:
곱셈은 결합법칙을 가져야 한다. 즉,
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
행렬 곱셈은 본질적으로 결합법칙을 만족한다.
군의 차원:
...앞에서 보겠지만, 군은 열벡터로 표현되는 점들로 이루어진 공간에 작용할 수 있다. 예를 들어 시공간의 점들(이들을 "사건"이라 부른다):
(22)
...이는 4차원 공간이다. 다양한 군들이 이 공간에 작용할 수 있다. 그러나 군의 차원은 그 군이 작용하는 공간의 차원과는 아무런 관련이 없다.
군(행렬군)의 차원은 이러한 정사각행렬을 정의하는 매개변수의 개수이다.
우리는 단 하나의 매개변수 a로 정의되는 행렬의 예를 제시하였다.
따라서 이 군의 차원은 1이다.
다음에 주목할 점은:
(22-bis)
참고:
모든 행렬군이 교환법칙을 만족하는 것은 아니다. 그러나 우리가 다룬 군은 이러한 성질을 가진다:
(23)
만약 이러한 군이 2차원 공간에 대응하는 열벡터 위에 작용한다면:
(23-bis)
이는 평면 내에서 고정된 점을 중심으로 한 회전을 의미한다:
(23-ter)
이 연산은 명백히 교환법칙을 만족한다.
당신은 "모든 회전군과 마찬가지다"라고 말하려 할 것이다.
...그것은 틀렸다. 주어진 점 O를 지나는 축을 중심으로 한 회전을 생각해보라. 서로 다른 축을 중심으로 두 번의 연속 회전을 수행해보자. 이 경우 교환법칙이 성립하지 않는다. 연습 문제: 직교좌표계(OX, OY, OZ)를 사용하여, 이러한 축들을 중심으로 한 회전의 조합이 교환법칙을 만족하지 않음을 보여라. 어떤 물체를 하나 취하라.
- OX축을 중심으로 +90도 회전한 후, OZ축을 중심으로 +90도 회전
- 초기 상태로 돌아와서:
- OZ축을 중심으로 +90도 회전한 후, OX축을 중심으로 +90도 회전
결과를 비교하라.
군의 작용:
...군 G는 정사각행렬 g들로 구성된다. 이들은 곱셈이 가능하다. 우리는 군이 자기 자신 위에 작용할 수 있다고 말할 것이다.
또한, 열벡터로 표현되는 점들로 이루어진 공간 위에도 작용할 수 있다. 예:
(24)
만약 다음과 같이 표기한다면:
(25)
그리고 군이 이 공간에 작용하는 것은 다음과 같이 된다:
(26) g × r
...이 특별한 경우, 공간 위의 작용은 단순한 행렬 곱셈으로 귀결된다. 그러나 작용이라는 개념은 훨씬 더 일반적이다.