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한 줄기: 시공간의 방향성
**...**2차원 세계에서는 기하학적 객체를 알파벳 문자로 간주했다. 3차원 세계에서는 '오른손'과 '왼손'으로 대응시켰다.
4차원 구조는 동적인 홀로그램에 비유되었다.
**...**5차원 구조나 10차원 구조는 도대체 무엇일까? 가끔 나는 하나님을 부러워하지 않겠는가?
**...**우리의 처참한 4차원 구조를 보며 그분은 웃고 계실 것이다.
**...**그러나 이론 물리학자이자 심지어 수학자도 결국 방향성을 가진 4차원 구조에 불과하다. 만약 방향성이 없다면, 과거와 미래, 오른쪽과 왼쪽을 구분할 수 없을 것이다.
**...**전체 우주는 4차원 구조이다. 이를 국소적으로 구형인 위상 구조를 가진 닫힌 물체로 상상해보자. 시간을 t라 하자. 특정 순간에 우리는 3차원 초표면인 절단을 할 수 있다. 만약 이 절단이 초구 S3라면, 시간은 의미를 갖는다. 시간 벡터는 이 초표면을 관통하며 모순적인 상황은 발생하지 않는다.
**...**차원 수를 줄여보자. 닫힌 2차원 세계, 즉 어떤 종류의 시공간 (x,y,t)을 상상해보자.
**...**t = 일정 값에서 절단하면, 차원이 3 - 1 = 2인 기하학적 객체, 즉 2차원 표면을 얻게 된다. 모든 점에서 방향성이 있는 법선 벡터는 시간의 화살표를 나타낸다.
만약 이 시공간이 시간 방향으로 정렬 가능하다면(닫힌 구조라고 가정), 공간은 S2 구면이 된다:
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**...**하지만 공간을 나타내는 표면이 한쪽 면만 가지는 경우를 상상해보자. 예를 들어 보이 표면(닫힌 단일면 표면. 사이트의 '수학' 섹션 참조)을 들 수 있다.
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모비우스 반지름을 붙여서 만들 수 있다. 하나 보여주겠다:
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방향성을 가진 법선 벡터를 정의하는 것이 불가능하다는 것을 알고 있을 것이다:
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**...**보이 표면의 이중 덮개는 구면 S2이다. 우리가 3차원 시공간을 '러시안 돌'처럼 배열된 S2 구면들의 집합으로 간주하고, 각각이 우주 시간 t의 특정 값에 대응한다고 가정하면, 반대점들이 일치할 수 있는 특정 유형의 시공간을 어렵게나마 상상해볼 수 있다. 이는 다음 논문에서 제안된 위상 구조였다:
Jean-Pierre Petit: "누락된 질량 문제". Il nuovo Cimento B, 제109권, 1994년 7월, 697-710쪽.
**...**또한 우리는 구면의 '적도'에 위치한 반대점들이 모비우스 띠의 이중 덮개 형태로 배열될 수 있음을 알고 있다:
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이렇게 반대 방향의 시간 화살표가 반대 공간 영역과 짝지어짐을 알 수 있다.
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**...**그 사이에, 이 방식이 엔anti모르픽 물체들을 어떻게 짝지을 수 있는지도 보여준다.
**...**공간은 4차원 초표면이다. 만약 우주 시간 t를 정의할 수 있다면, t = 일정 값에서 절단을 할 수 있고, 이러한 절단은 3차원 공간이 된다. 공간이 닫혀 있다면, 이를 S3 구면으로 간주할 수 있으며, 이는 3차원에서 보이 표면의 등가물인 사영 공간 P3의 이중 덮개로 모델링할 수 있다. 이 연산은 반대 방향의 시간 화살표를 가진 영역들이 상호작용하도록 한다.
원문 (영어)
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.