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갈릴레오 군(공간-시간 방향성과 완전군).
이 군에 대해 다양한 이름을 제안할 수 있다.
GGSOTO (공간 방향성과 시간 방향성 갈릴레오 군)
또는: GSG (특수 갈릴레오 군).
또는 단순히: SG(3,1): 특수 갈릴레오 군.
공간 3차원, 시간 1차원. 우리는 PT 군의 작용을 다음과 같이 표현했다고 기억하자:
(158)
그 후 우리는 공간과 시간 방향성을 갖춘 군으로 전환하였다. 비슷하게 이러한 군의 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다:
(159)
이는 더욱 정교한 군의 부분군이다:
(160)
"공간-시간 방향성 갈릴레오 군". 여기서:
(161)
해당 작용은 다음과 같다:
(162)
이것은 하나의 연결 성분(연결된) 군이다. 완전한 갈릴레오 군(4개의 성분)의 부분군이다:
(163)
이는 P, T 및 PT 대칭을 규정한다:
(164)
또한 나중에 상대론적 관점에서 다룰 것이지만, 반시계 방향 물체 문제도 제기된다.
운동.
4차원 기하학적 객체는 '움직이는 홀로그램'이다. 4차원 구조에서는 연속적인 순간들에 대해 절단을 수행할 수 있다. 각 절단은 (xi, yi, zi) 점들로 구성된 3차원 객체가 된다. 공간-시간 내에서 점처럼 움직이는 물체를 고려하는 것이 더 간단하다. 이 경우 고려되는 공간-시간 구조는 궤적, 즉 운동이 된다.
...우리는 물리학의 입자를 점의 운동으로 동일시하기로 결정한다. 그들은 '질량 점'이거나, 점성 에너지(광자, 중성미자)일 수 있다.
...모든 가능한 입자의 모든 가능한 운동을 고려하고 이를 하나의
(165)
운동 공간에 포함시킬 수 있다.
...
공간-시간 내에서 광자, 양성자, 중성자, 중성미자, 반양성자 등 모든 가능한 궤적을 결정할 수 있다. 무한한 수의 가능한 위치, 속도 및 기타 매개변수를 고려하며, 나중에 밝혀질 것이다. 이 무한한 궤적들 중에는 전자와 같은 특정 입자의 궤적이 포함된다. 다른 궤적들은 광자에 해당한다. 이들은 서로 다르며, 두 개의 서로 다른 가족을 형성한다. 즉, 두 가지
다른 종류의 운동이다. 우리는 입자를 어떻게 분류할지 탐구한다. 그리고 운동의 종류를 어떻게 정의할지 탐구한다.
우리는 유클리드와 유사한 방법을 사용할 것이다. 핵심 질문은 다음과 같다:
어떤 '객체'들이 같은 종에 속하는가?
...답변: 그 객체들이 어떤 군의 원소 작용을 통해 서로 겹쳐질 수 있다면, 그 군의 부분군인 정규성(regularity)에 속한다.
...유클리드 세계에서는 구를 정육면체로 변환할 수 없으며, 반대로도 마찬가지다. 이들은 서로 다른 종에 속한다. 구를 정육면체로, 또는 그 반대로 변환할 수 있는 부분군은 존재하지 않는다.
...마찬가지로, 정의해야 할 군 내에서는 광자의 운동을 전자의 운동으로 변환할 수 있는 특정 부분군의 원소가 존재하지 않는다. 이들은 본질적으로 다르며, 서로 다른 종에 속한다.
만약 어떤 군의 원소 작용이 한 운동을 다른 운동으로 변환할 수 있다면, 그 두 운동은 같은 종에 속한다. 즉, 동일한 입자의 서로 다른 운동이다.
...우리는 원자나 분자와 같은 다입자 시스템에 대해 논하지 않을 것이다. 우리는 빈 공간을 이동하는 자유 입자 분석에 집중할 것이다. 이 과정에서 일정 수의 매개변수가 보존된다(질량, 에너지 등).
그러나 입자의 공간-시간 궤적을 단순히 관찰하는 것으로는 그 입자를 식별하거나 정해진 종에 포함시키는 데는 충분하지 않다.
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양성자와 중성자는 같은 궤적, 같은 속도로 이동할 수 있다.
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두 입자가 v = c 속도로 동일한 궤적을 따를 수 있지만, 하나는 광자이고 다른 하나는 중성미자일 수 있다.
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나중에 보겠지만, 같은 방향, 빛의 속도로 동일한 궤적을 따라가는 두 광자는 서로 다를 수 있다. 이들은 P 대칭이다.
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하나는 오른쪽 회전성(helicity)을 가진다.
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다른 하나는 왼쪽 회전성(helicity)을 가진다.
이는 빛의 편광과 일치한다. 이들은 서로 다른 종에 속하는가? 선택한 군에 따라 달라진다.
한 종은 주어진 군에 상대적이다.
운동량.
...운동은 특별한 선택, 즉 운동량 공간 내의 한 점이다. 질량만 다를 뿐 다른 점이 없는 종의 운동을 고려하자. 두 종을 취하자. 질량이 ma인 입자는 질량이 mb인 입자로 변환될 수 없다. 공간-시간 내에서 궤적이 동일하더라도, 우리는 이들을 서로 다른 종에 속하는 서로 다른 운동으로 간주한다. 즉:
서로 다른 두 종의 운동(166)
운동량은 매개변수 집합 J = { J1, J2, J3, ..., Jn }이다. 그 중 하나는 에너지 J1 = E이다.
다른 세 개(J2 = px, J3 = py, J4 = pz)는 운동량 벡터 p를 형성하며, 물리학자들에게 익숙한 양들이다.
...이러한 양들은 선택된 군과 직접 연결된 순수 기하학적 양으로 나타날 수 있다. 나중에 보게 되겠지만, 운동량을 구성하는 양의 수는 군의 차원과 같다.
...그러면 우리가 할 게임의 규칙은 무엇인가?