동적 그룹 프로젝트 및 순간 공간

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프로젝트

… 우리의 출발점은 동적 군 G, 즉 정사각 행렬 g의 가족이다.

… ‘동적’이라는 표현은 시간이 여기에 포함되어 있기 때문이다.

… 이 군은 특정한 차원 n을 갖는다. 이 군은 공간 X 위에서 작용할 수 있으며, 이 공간 X 역시 자체적인 차원을 갖는다 (군의 차원과는 무관하다. 군의 차원은 군 G를 구성하는 각 행렬 g를 정의하는 독립 매개변수의 개수이다).

… 이제 우리는 군이 작용하는 공간, 즉 운동량 공간(또는 운동량 공간)을 정의하기 위해 작용이 필요하다. 이 공간은 입자가 움직여야 할 시공간과는 다르다. 이러한 공간을 구성함으로써 우리는 이상한 나라로 데려가게 되며, 마치 정신분열적인 토지와 같은 곳이다. 그러나 만약 당신이 이 길을 따라가면, 지금까지 본 적 없었던 물리적 현실에 더 가까워질 것이다.

… 우리가 놀 수 있는 공간과 작용할 수 있는 작용을 갖게 되면, 운동량-운동을 종류로 분류하고, 이러한 종류를 기본 입자와 일치시킬 수 있다.

… 앞서 우리는 SO(2)와 O(2), 그리고 SO(3)와 O(3)에 해당하는 군과 벡터의 곱이 작용을 구성한다는 것을 언급했다: g × r

즉,
(166b)

다음과 같이 동치로 쓸 수 있음을 주목하자:
(167)

정방향 유클리드 군과 완전 유클리드 군의 경우, 다음과 같은 작용을 써야 한다:
(168)

그러나 이러한 작용들뿐 아니라, 동적 군이 공간 위에서 작용하는 대응 작용들, 예를 들어:
(169)

은… 아무것도 만들어내지 않는다. 단지 물체를 공간이나 시공간, 또는 더 정교한 공간(5차원 공간, 10차원 공간 등) 속에서 옮길 뿐이다.

우리는 군 아래에 숨겨진 무언가를 찾아야 한다: 그 운동량 공간(모든 행렬 군은 이와 같은 공간을 갖는다)과

그 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용.

이것이 실제 물리학과 일치한다.

물리학이란 무엇인가?

… 좋은 질문이다. 프랑스 수학자 장마리 수리오는 1970년대 초에 군이 자신의 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용이라는 개념을 발명하고 이를 입증했다. 이후 이 점은 더 깊이 다뤄질 것이다.

… 물론 물리학자들은 계산이 끝난 후 다음과 같은 질문을 하게 된다:

왜?

… 즉, 이는 작동하지만, 동적 군이 자신의 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용이라는 개념에 물리적 의미를 부여할 수 있을까? 답은 아마도 ‘아니요’이다.

… 아리스토텔레스의 학생이라고 상상해 보자. 갑자기 직관이 깨달아지고, 그것을 이름 붙이기 위해 새로운 단어를 창안한다:
관성.

… 아리스토텔레스가 도착한다. 다른 학생들로부터 당신이 새로운 것을 창안했다는 소식을 듣고, 다음과 같이 묻는다:

– ‘관성’이란 무엇을 의미하는지 설명해 줄 수 있겠는가?

당신은 아리스토텔레스의 어휘로는 이를 설명할 수 없다. 이 순간 당신은 패러다임의 전환을 경험하게 된다.

… 중세 시대로 넘어가 보자. 사상적 사물 네 가지(토, 기, 물, 불)의 언어로 화학 반응을 설명해 보라. 역시 불가능하다…

군이 자신의 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용은 패러다임의 전환이다. 이것은 물리학에 대한 새로운 접근법이다.

사실, 물리학자들은 ‘불변성’이나 ‘보존 법칙’을 논할 때마다 항상 군 작용을 다루고 있다.

따라서 전통적인 물리학자는 다음과 같은 질문을 할 것이다:

– 가능한 한 간단한 말로, 군이 자신의 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용이란 무엇을 의미하는지 설명해 줄 수 있겠는가?

우리는 이렇게 대답한다:

– 왜 물리학에서 보존 법칙을 사용하는가?

– 아, 에너지, 질량, 전하량과 같은 보존되는 양들이 있기 때문이다…

– 왜 그들은 보존되는가?

– 하지만 기본 원리이지 않나요…

– 친애하는 친구, 군이 자신의 운동량 공간 위에서의 코어조인트 작용을 기본 원리로 여겨라.

– 무슨 말씀이신가요?

– 모든 물리학은 군 구조에 기반한다. 군을 식별하면, 그 코어조인트 작용과 대응하는 운동량 공간을 구성할 수 있다. 그러면 운동량의 성분들이 대응하는 물리량이 된다.

– ………

주의. 만약 당신이 물리학자(심지어 이론 물리학자라도)라면, 아래 내용을 읽게 되면 패러다임의 변혁을 겪게 될 것이다. 이후 물리학은 단순히… 달라질 것이다.

작용

작용이란 무엇인가?

군과 관련된 어떤 것인데, 다음 공리들을 만족해야 한다:
(170)

물론 행렬 군의 경우, 합성 연산은 다음과 같다:
x
(행-열 행렬 곱셈)

행렬 군의 경우 다음과 같이 쓸 수 있다:
(171)

아래와 같은 열벡터를 고려하자:
(172)

여기서 x는 예를 들어 벡터 (173)을 나타낸다.

식 (174)은 작용의 공리를 만족하는가? 군 G의 두 원소 g, g' 를 생각하자.
(175)

(175b)

다음이 성립해야 한다:
(176) A_g(A_g'(x)) = A_g''(x)

즉,
(177)

결합법칙에 의해:
(178) g'' = g × g'

이는 군의 작용이다.

… 주목할 점은 군 G의 원소 g를 왼쪽에 두었다는 것이다. 만약 오른쪽에 두면 어떻게 될까? 그러면 행렬 y와 결합되어야 한다.
(179) A_g(y) = y × g

이것도 작용인가?

인덱스 동적 군 이론