군 내의 행렬에 대한 작용과 반작용

a4115

우리는 다음과 같이 필요합니다:
(180)

Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)

Ag(y) = y × g

Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g

그러나:

두 행렬의 곱은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 따라서:
(181) Ag(y) = y × g

군의 작용이 아닙니다: 이전의 공리에 부합하지 않습니다. 그러나 이는 "반작용"에 해당합니다:
(182)

행렬에 대해:
(183)

우리는 여전히 작용과 반작용을 찾고 있습니다. 벡터 x로부터 전치행렬을 만들고 시도할 수 있습니다:
(184)

이것이 작용인가요? 확인해 봅시다.

g" = g × g'

(185)

(186)

여기서 우리는 선형 계산의 정리 하나를 사용합니다:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹

여기서 M과 N은 임의의 (n,n) 행렬입니다. 따라서:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹

그리고:
(189)

이는 군의 작용입니다. 이제 다음과 같이 고려해 봅시다:
(190)

Ag(m) = g × m × g⁻¹

이것이 작용임을 보여주겠습니다. 우리는 다음 세 개의 행렬을 고려할 것입니다.
(191)

g
g'
g" = g × g'

Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹

우리는 다음을 확인해야 합니다:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)

왼쪽 항을 계산해 봅시다:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹

또는:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹

즉:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹

이것은 군의 작용입니다. 이 작용을 소리우(Souriau)에 따라 수반 작용(adjoint action)이라고 부릅니다:
(193)

이제 우리는 군이 행렬 m에 대해 "반작용"을 고려해 볼 것입니다.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g

이것이 다음을 만족함을 보여주겠습니다:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)

왼쪽 항을 계산해 봅시다:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g

또는:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'

즉:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )

또는:
(199) g"⁻¹ × m × g"

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