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필요한 것:
이중 작용(dual actions).
위에서 우리는 다음과 같은 작용을 구축했다:
(200)
그리고 반작용을:
(201)
첫 번째는 임의의 열벡터 m에 대해 정의될 수 있다:
(202) m' = g x m
두 번째는 임의의 행벡터 n에 대해 정의될 수 있다:
(203) n' = n x g-1
m는 특정 공간 M에 속한다.
n는 다른 공간 N에 속한다.
스칼라를 형성하자:
(204) S = n m
다음과 같이 주목하자:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
... 우리가 고려한 두 작용이 서로 이중적(dual)이라고 말할 것이다. 마찬가지로, m과 n이 속하는 두 공간 M과 N 역시 이중 공간이다: N = M* 또는 M = N*
일반적으로, m이 벡터라면, n은 그 공벡터(covector)라고 말한다.
접두사 'co'는 이중성(duality)을 특징짓는다. 수리아우(Souriau)가 지적했듯이, 정치에서도 이중성이 존재하며, 다음과 같이 덧붙인다:
- 마르크스-레닌주의 초기부터 이미 이중성이 존재했다. 공산주의자와 반공산주의자를 생각해 보라.
다른 관점에서 접근해보자. 우리가 하나의 작용을 갖고 있고, 그 이중 작용을 구축하고자 한다고 가정하자.
개략적으로:
(206)
... 열벡터 m과 스칼라 곱을 형성하기 위해, n은 행벡터여야 한다. 따라서 두 벡터는 동일한 수의 스칼라로 정의되어야 한다:
(207)
그리고 우리는 이중 작용을 찾는다:
(208)
n' = Ag(n)를 만족하여 스칼라 곱:
(209)
이 불변(invariant)이 되도록 한다. 다음 조건이 필요하다:
(210)
n' m' = n m
다음과 같이 알고 있다:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
이 방정식의 해는 다음과 같다:
(213) Ag(n) = n x g-1
군이 그 운동량 공간(momentum space) 위에서 작용하는 본질적인 작용, 또는 공수반 작용(coadjoint action)을 구축하기 위해(수리아우 이후).
우리는 군이 그 "운동량 공간" 위에서 작용하는 것을 찾고자 한다. 우리는 이를 반작용의 이중 작용으로 구성할 것이다:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... 이전 절에서는 m이 벡터였지만, (214)에서는 행렬이다. 우리는 특정 파라미터 집합에 따라 변하는 행렬을 고려할 것이다: { m1 , m2 , . . . . , mn }
그리고 다음과 같은 이중적인 스칼라 집합을 상상해야 한다: { n1 , n2 , . . . . , nn }
이를 통해:
(215)
개략적으로:
(216)