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행렬 m의 선택
... 군 G는 특정한 표면과 비교될 수 있다. 이는 일정한 수의 매개변수에 의존한다. 군의 매개변수 공간을 P라 하고, 이 공간의 점을 p라고 하자. 이러한 매개변수 pi의 개수가 바로 군의 차원이다.
(217)
보여진 것: 항등원 e (단위 행렬 1).
우리는 d p라는 증분을 부여할 수 있다:
(218)
... 다음으로, 군의 원소인 행렬 g를 미분한다. 그 결과 얻어지는 정사각형 행렬 dg는 군에 속하지 않는다. 이를 '군에 대한 접벡터(tangent vector)'라고 부른다. 이러한 접벡터들은 '리 대수(Lie algebra)'라 불리는 것을 형성한다(사실 리 대수는 대수학적 구조가 아니다).
우리는 항등원 근처에서 미분하는 것을 선택한다:
(219)
그리고 다음과 같은 반작용을 선택한다:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
참고:
왜 군의 접벡터를 g = 1에서 선택하는가?
... 우리는 군의 임의의 점에서 접벡터 dg를 더 일반적인 형태로 사용할 수도 있다. 결과는 동일하지만 계산이 훨씬 더 복잡해질 것이다.
군의 차원은 n이다. 행렬 g는 n개의 매개변수 { pi }에 의존한다.
리 대수의 원소 dg(g=e) 역시 같은 수의 매개변수 { d pi }에 의존한다.
위의 반작용 계산을 통해 다음 사상이 얻어진다:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
동일한 수의 스칼라 { J i }를 도입한다.
이 집합을 군의 '모멘트'(moment) J라 부른다. J = { J i }
이는 n개의 양(스칼라)으로 이루어진 집합이다. 때때로 우리는 이를 행렬 형태로 표현할 수 있다(포인카레의 모멘트에 대한 작용).
{ J i }는 군의 접벡터에 대한 쌍대 벡터, 즉 '코접벡터'(cotangent vector) { d p i }이다. 쌍대성은 다음과 같다:
(222)
이 스칼라 곱의 보존성에서, 만약 다음 사상이 주어진다면:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
그에 대한 쌍대 사상은 다음과 같이 구성할 수 있다:
(224) { J i } -----> { J 'i }
이것이 우리가 찾는 본질적인 작용이며, 수리아(Souriau)는 이를 군이 자신의 모멘트 공간 위에서 하는 '공접작용(coadjoint action)'이라 부른다.
이 개념을 가장 잘 설명하는 방법은 예를 들어 보는 것이다:
포인카레 군의 공접작용: 그 모멘트 공간 Jp 위에서
이전에 일반화된 로렌츠 군을 제시했다. 다음을 선택함으로써:
(225)
우리는 원소 L가 공리적 정의를 만족하는 로렌츠 군 L을 얻는다:
(226)
시공간 벡터는 (227)
c = 1로 두면, 기본적인 이차형식, 즉 민코프스키 계량이 된다:
(228)
역행렬은 (229)
이제 시공간 평행이동을 도입하자:
(230)
포인카레 군 Gp의 원소 gp는 다음과 같이 구성한다:
(231)
연습문제: 이것이 군을 이룬다는 것을 보이고, 역행렬을 계산하라:
(232)
리 대수의 원소는 (233)
그리고 반작용은:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있다:
(235) G d L
는 반대칭 행렬이다. 이를 다음과 같이 부르자:
(236)
따라서:
(237)
즉:
(238)
이로부터 다음 반작용을 구성할 수 있다:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
이로써 다음과 같은 사상이 얻어진다:
(240)
(240b) (240c)
이는 우리가 찾는 사상이다:
(241)