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스핀을 가진 입자.
...포인카레 군은 점입자의 상대론적 운동을 설명한다. 마찬가지로 바르망 군은 비상대론적 운동을 설명한다. 운동량의 구성요소들은 순수한 기하학적 양으로 나타난다. 이것은 물리학의 기하화이다. 물리학자들은 에너지 E와 운동량 벡터 p에 익숙하다. 그러나 두 가지 다른 물체인 '통과' f와 스핀 벡터 l에 대해 약간 혼란스러워할 수 있다. 운동량 구성요소의 형태는 좌표계의 선택에 따라 달라진다. ...각 동역학 군은 자신의 운동량 공간과 이 공간 위에서의 공대칭 작용을 갖는다. 만약 처음에 상대론적 세계(포인카레 군)를 선택하는 대신 비상대론적 세계를 선택했다면, 바르망 군을 고려해야 했을 것이다. 계산적인 세부사항은 내 군론 강의를 참고하라. 바르망 군은 갈릴레이 군의 비자명한 확장이다: (272)
읽는 이가 알 수 있듯이, 이 군은 다섯 차원의 공간 위에서 작용한다:
r: 공간
t: 시간
z: 추가적인 변수.
...추가 변수에 관한 이러한 문제들은 나중에 다룰 것이다. 이 사이트에서는 포인카레 군의 공대칭 작용에 대한 완전한 계산이 이미 위에 제시되었다. 마찬가지로 바르망 군이 자신의 운동량 공간 위에서 수행하는 공대칭 작용의 계산도 도출할 수 있다. 모순적이게도, 비상대론적 세계에서는 상대론적 세계보다 계산이 약간 더 복잡하다. 그 결과는 다음과 같다: (273)
물리학자는 속도: (274) 및 운동 에너지: (275)와 같은 익숙한 물체들을 인식한다.
m v는 운동량이다. 어떤 기준에 대한 속도인가? 군은 운동의 매개변수를 변화시키며, 입자에게 속도 v와 운동 에너지 E를 부여한다. 반대로, 군을 어떤 것, 즉 입자의 특별한 관점으로 간주할 수도 있다. SO(3) 군을 고려할 때 행렬 a는 '다른 각도에서 본 것'을 의미한다. O(3) 군을 고려할 때 행렬 a는 '사물'을 거울을 통해 관찰할 수 있는 가능성을 추가한다.
유클리드 군의 이동 벡터 (276)
는 '다른 곳에서 본 것'을 의미한다.
동역학 군에서는 군 내에 속도 v가 존재한다는 것은 관측자가 움직이고 있음을 의미한다. 시간 이동 e = Dt는 관측자가 일정한 지연 후에 사물을 본다는 것을 의미한다. 이동 벡터 Dr과 시간 지연 Dt는 공간-시간 이동 벡터로 결합될 수 있다: (277)
공식을 살펴보면, 바르망 군에서는 다음과 같다:
m' = m
어떤 관점에서든 질량은 변하지 않는다.
이 '관점'을 조금 단순화하기 위해 a = 1을 선택하자.
공대칭 작용은 다음과 같이 된다: (278)
...공대칭 작용은 운동 매개변수의 변화를 나타낸다. 정적 상태에서 비정적 상태로 전이한다고 가정할 때, 초기 조건은 다음과 같다:
E = 0 (에너지가 없음)
p = 0 (운동량 없음, 속도 없음)
'통과' f = 0
그러면 공대칭 작용은 다음과 같이 주어진다: (279)
'고려하다'는 표현은 그 어원적 의미로 해석되어야 한다.
집행관은 말한다: - 조사 및 목록 작성.
...물체를 정적(v = 0)으로 보는 시각은 유클리드 군에 해당한다. 집행관은 거리 c에서 물체를 관찰한다. 그는 사건이 발생하는 순간(Dt = 0)에 그 사실을 관찰한다. 필요시 특정한 각도(a ≠ 1)에서 관찰한다.
...비행기로 전장 위를 비행하는 장군은, 이동하는 관점(속도 v로 비행하는 비행기에서)에서 사물을 관찰하는 일종의 집행관이다. ...그러나 장군이 사무실에서 몇 시간 전에 무인 항공기 또는 드론이 촬영한 영상을 보며 말한다: - 목표물이 한 시간 전에 어떤 모습이었는지(비제로인 Dt), 이동하는 관측점(비제로인 v)에서, 5000피트의 고도(c ≠ 0)에서, 속도 v로 비행하면서 특정한 각도(a ≠ 1)에서 촬영된 것으로 고려해보라.
...목표물은 정지한 건물이라 하더라도, 정해진 속도, 위치, 방향이 없다. 모든 것이 상대적이다. 지구, 태양, 우리 은하조차 공간을 움직이고 있다.
...지구의 '북극'과 태양의 '북극'은 23도 차이가 있으며, 계절 전경의 세차로 인해 시간이 지남에 따라 변화한다(26,000년 주기). 태양이 나타내는 북극(자신의 회전축)과 우리 은하, 은하수(자신의 회전 운동을 가짐)가 나타내는 북극은 90도 차이가 있다. 심지어 은하조차 시간당 300마일의 속도로 움직인다. 어떤 것에 대해 말하는가? 다른 것들에 대해 말하는 것이다. 우리가 할 수 있는 말은 그것뿐이다. 군은 두 가지 서로 다른 관점에 해당한다.
...내가 물체가 공간과 시간에서 정지해 있으며 회전 운동도 없다고 가정한다면, 내가 말할 수 있는 것은 다음과 같다:
- 나는 거리 c만큼 떨어진다.
- 나는 속도 v로 비행하면서 사물을 관찰한다.
- 그 사물로부터 오는 정보가 시간 지연 Dt를 거쳐 나에게 도달한다.
나에 비해:
---> 물체의 질량은 변하지 않는다.
----> 나는 물체에 mv라는 운동량을 부여하며, 이는 상대적인 것으로 간주한다.
-----> 물체는 '통과' f = m [ c - v Dt ]를 갖게 된다.
-----> 물체는 스핀(279b)을 갖게 된다.
이를 더 명확하게 써보면: (280)
(281)
(282)
또는: (283)
스핀 행렬 l의 세 개 독립적인 성분을 벡터의 성분으로 간주할 수 있다: (283b)
...우리 공간에서 벡터 곱이 정의되지 않았다는 점, 즉 공간에 오른손-왼손 방향성을 부여하지 않았다는 점을 고려하더라도, 최종 표현식을 벡터 곱으로 간주할 수 있다. (284)
...뒤집힌 v는 벡터 곱을 나타낸다. 공대칭 작용을 주는 공식의 마지막 줄이 다음과 같다는 것을 알 수 있다: (285)
l은 벡터가 아니라 행렬이다. 그러나 선택한 표기법에 따라 굵은 글자는 행렬이든 벡터이든 상관없이 나타낸다.
이 벡터는 물리학자에게 익숙한 무언가와 비슷해 보인다: 운동량.