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포인카레 군의 구성 요소를 상기해 보자:
E: 에너지
p: 운동량
f: 통과
l: 스핀 행렬.
수리외(Souriau)의 원문에 가까이 하기 위해 다음과 같이 부르자.
- Ln: 완전 로렌츠 군 L의 중성 성분 Ln의 원소.
- Ls: 공간을 반전시키는 원소.
- Lt: 시간을 반전시키는 원소.
- Lst: 공간과 시간을 동시에 반전시키는 원소.
C를 시공간 이동 벡터로 두면, 포인카레 군의 다음 구성 요소들을 얻는다:
gp ( Ln , C): 중성 성분 Gpn의 원소.
gp ( Ls , C): 공간을 반전시키는 성분 Gps의 원소.
gp ( Lt , C): 시간을 반전시키는 성분 Gpt의 원소.
gp ( Lst , C): 공간과 시간을 동시에 반전시키는 성분 Gpst의 원소.
공액 작용은 다음과 같다: (313)
P는 4차원 벡터이다:
(314)
다음과 같은 네 가지 특성 행렬이 존재한다: (315)
여기서 l = ± 1, m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = -1)
(316)
(317)
(318)
우리는 C = 0에 관심이 있다 (319)
따라서 l' = l, f' = l m f
그리고: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
반전은 스핀 행렬 l을 변화시키지 않는다.
반대로, T-반전과 에너지 반전은 동의어이다.
E → -E (이는 'E-대칭'이라 부를 수도 있다)
스핀 s는 스핀 벡터 s의 크기이므로 단순한 숫자이며, 모든 군 성분(오르토크론 또는 안티크론)의 작용에 의해 변화하지 않는다.
...입자의 정지 에너지는 mc²이다. 우리가 보듯이 질량 반전은 시간 반전과 함께 일어난다. 그러나 공간 반전은 에너지나 질량을 변화시키지 않는다.
수리외는 포인카레 군의 두 개의 연결 성분을 다음과 같이 부른다:
Gpn, Gps
→ 오르토크론 성분 (Gpn은 중성 성분)
그리고 나머지 두 성분: Gpt, Gpst
→ 안티크론 성분. 이는 음의 질량 문제를 야기한다. 음의 질량은 존재하는가? 만약 존재한다면, 질량과 에너지가 반대인 입자들 사이의 충돌은 어떻게 되는가?
- mc²와 - mc²
...이것은 입자-반입자 쌍의 '소멸'과는 다릅니다. 이러한 입자-반입자 쌍의 충돌에서는 방사 에너지, 즉 광자가 생성됩니다. 반면 양의 에너지 입자와 음의 에너지 입자의 충돌 결과는 훨씬 더 혼란스럽게 되어야 하며, 그 결과는 0이 되어야 하므로 아무것도 남지 않아야 합니다.
...어떤 것이 자연이고, 어떤 것이 입자인가? 이 접근법에서는 주어진 군, 즉 포인카레 군에서 출발한다. 그 후 이 군이 그 운동량 공간 위에 작용하도록 구성한다. 이 운동량 공간은 점들로 이루어져 있다. 각 점은 군과 관련된 공간을 구성하는 기하학적 객체 중 하나의 운동을 나타낸다.
...다음 장에서 포인카레 군이 입자의 모든 특성을 다룰 수 없다는 것을 보일 것이다.
...포인카레 군의 차원은 10이다.
따라서 운동량 공간의 차원 역시 10이다. (321) J = { E, p, f, l }
입자와 관련된 좌표계를 선택하면 f = 0이 된다.
요약하면, 포인카레 군에서 자연스럽게 도출되는 기하학적 양으로는 다음이 있다:
질량이 없는 입자에 대해:
- 그 에너지 – 그 스핀과 헬리시티
질량이 없는 입자에 대해:
- 그 정지 질량 – 그 스핀
다음은 포인카레 군에 포함되지 않은 특성들이다:
- 전하
- 바리온 수
- 렙톤 수
- 뮤온 수
- 타온 수
- 자진모수
- 그리고 이 입자가 물질 세계 또는 반물질 세계에 해당할 수 있다는 점
이러한 특성들은 포인카레 군에 포함되어 있지 않다. 나중에 이 군을 보완하여 이를 다룰 것이다.
현재로서는, 이 군은 입자와 반입자를 '구성'하지 못한다. 그러나 두 오르토크론 성분과 두 안티크론 성분을 포함한 전체 군으로 확장하면, 양의 에너지 입자와 음의 에너지 입자를 서로 다른 종류로 '구성'할 수 있다.
...만약 완전한 포인카레 군이 우주를 지배한다면, 양의 에너지와 음의 에너지는 공존할 수 있으며, 그 만남은 완전한 소멸 현상을 일으킬 것이다. 만약 우주가 50%의 양의 에너지 입자와 50%의 음의 에너지 입자로 채워져 있다면, 우주 전체가 스스로 소멸되어 아무것도 남지 않을 위험이 크다:
- 양의 에너지 입자가 없음
- 음의 에너지 입자가 없음 – 양의 에너지 광자가 없음
- 음의 에너지 광자가 없음
없음. 전혀 없음. 정말 곤란하다!
...수리외가 제안한 바와 같이, 무한한 지혜를 가진 신은 오직 양의 에너지 입자와 양의 에너지 광자만 창조하셨을 것이다. 마찬가지로 그의 천사들은 포인카레 군의 안티크론 성분 사용을 금지하며, 이들은 엄격히 어디선가 감금되어 있을 것이다.
...다음 장에서 다른 가능성에 대해 고민해 보겠다.