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갈릴레오 특수군.
...독자는 수리아의 책, '역학계의 구조'(Birkhäuser 출판, 1997년) 또는 프랑스어판 '역학계의 구조'(Dunod 출판, 1973년)에서 이 확장을 찾을 수 있다.
...군은 확장될 수 있다. 즉, 그에 의존하는 매개변수의 수가 증가한다는 의미이다. 갈릴레오 군이 의존하는 매개변수의 수를 계산해 보자. 우리는 3차원 회전 행렬부터 시작한다:
(322)
이것은 직교 행렬이다:
(323)
이러한 행렬들은 SO(3)군을 이루며, 모든 직교 행렬로 구성된 O(3)군의 부분군이다. 우리는 다음과 같다:
(324)
다음과 같은 차이점에 대해 다시 상기해 보자:
(325) (325b)
는 가장 일반적인 직교 행렬이며, 그 행렬식은 다음을 만족한다:
(326)
이 문단의 끝.
다음으로, 5×5 정사각행렬 군은 갈릴레오 특수군이라 불리게 된다:
(327)
회전 행렬은 오일러 각도 세 개의 자유 매개변수에 의존한다. 따라서 이 군의 차원은 10이다.
다음 표기법을 사용하여:
(328)
다음과 같은 결과를 얻는다:
(329)
공간-시간 벡터와 결합하면:
(330)
따라서 갈릴레오 특수군의 대응하는 작용은 다음과 같다:
(331)
...갈릴레오 특수군이 주어졌을 때, 이 군이 그 운동량 공간 위에서 작용하는 법을 계산할 수 있다. 이 계산은 여기서 제시하지 않는다. 독자는 내 강의 자료(가용)에서 이를 찾을 수 있다.
결과를 제시하자:
(332)
우리는 운동량 p와 에너지 E를 인식한다. 운동량은 다음과 같이 구성된다:
(333) JSG = { E , p , f , l }
...십 개의 스칼라 양. 군의 차원은 십이다. 여전히 전이 벡터 f와 반대칭 스핀 행렬 l(세 개의 독립적인 성분 lx, ly, lz로 구성되어 '스핀 벡터'를 형성)이 존재한다.
갈릴레오 특수군의 자명한 확장.
다음 행렬들은 새로운 군을 형성한다:
(334)
이것은 새로운 스칼라 성분 f, 즉 '패시스'(양자 세계와 관련됨)를 도입한다. 군의 차원은 10 + 1 = 11이 된다.
이 새로운 군은 다섯 차원 공간 위에서 작용한다:
(335)
z는 '추가 차원'이다. 이는 1921년 폴란드인 칼루자에 의해 처음 제안되었으며, 이후 1964년 수리아에 의해 재제안되었다(지오메트리와 상대성, Hermann 출판사, 영문 번역 없음).
다시 한 번, 군이 그 운동량 공간 위에서 작용하는 공액 작용을 계산할 수 있다. 다음과 같은 결과를 얻는다:
(336)
운동량은 다음과 같이 변한다:
(337) JTESG = { m , E , p , f , l }
...추가적인 스칼라 양 m이 존재하며, 이는 질량으로 해석된다. 갈릴레오 특수군이 공간-시간 위에서 작용할 때, 운동량의 구성 요소로서 에너지만 제공하고 질량은 포함하지 않는다는 점을 알 수 있다. 현재(자명한 확장에 의해), 우리의 입자는 매우 임의적인 방식으로 질량으로 해석되는 추가적인 성질을 얻게 되며, 이는 운동량의 다른 성분들과 상호작용하지 않는다.
원문(영어)
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The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.