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갈릴레이 특수군의 비자명한 확장.
바르그만 군(1960)
다음 행렬들(내 그룹 강의를 참조)
(338)
1960년 바르그만에 의해 발견된 군을 이룬다. 다시 말해, 이 군 역시 5차원 공간 위에서 작용한다. 스칼라 f의 존재로 인해 차원은 11이다. 이것은 갈릴레이 특수군의 비자명한 확장이다.
(339)
군이 자신의 운동량 위에서 공액 작용을 계산하면 다음과 같다:
(340)
...이 공액 작용이 더 정교함을 알 수 있으며, 질량이 운동량의 다른 성분들과 상호작용함을 보여준다. 우리는 이미 위에서 이를 분석하였고, 운동량 성분들이 물리적 의미를 갖게 되는 방식을 보여주었다.
...운동량은 특정 입자의 운동을 의미한다. 바르그만 군은 비상대론적 운동을 기술한다. 우리는 에너지 없이, 운동량 없이, 스핀 없이 정지해 있는 입자를 생각해볼 수 있다. 단지 비영인 질량만 존재하는 경우이다:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
우리는 바르그만 군의 다음 원소를 사용한다:
(341)
운동량의 성분들은 다음과 같이 변한다:
(342)
...입자와 함께 움직이는 좌표계에서는 여전히 f가 0이다. 스핀 행렬이 운동량과 일치함을 보였다.
...여기서 중요한 점은 갈릴레이 특수군의 자명한 확장(왜 '특수'인가? 나중에 설명할 것이다)을 살펴보는 것이다. 이 자명한 확장을 수행하면, 운동량에 단지 추가적인 스칼라를 더할 뿐이다.
이제 파울리 군의 확장을 살펴보자:
파울리 군의 중심 확장. (343)
"ep"는 "확장된 파울리 군"을 의미한다. Lo는 완전한 로렌츠 군 L의 동조 부분군 Lo의 원소이다. 따라서 위의 원소를 완전한 확장된 파울리 군의 동조 부분군 Gepo로 간주할 수 있으며, 그 원소는 다음과 같다:
(344)
이 두 군은 5차원 공간 위에서 작용한다:
(345) ( t , x , y , z , z ).
이 확장이 1과 f 사이의 첫 번째 행에 0이 아닌 항을 포함할 수 없음을 보일 수 있다.
...지.엠. 수리외가 보여주었듯이, 기하학적 양자화 방법(코스탄트-키릴로프-수리외 방법)은 바르그만 군에서 슈뢰딩거 방정식을, 확장된 파울리 군에서 클라인-고든 방정식을 도출할 수 있다 (『동역학계의 구조』, 두노 에디션, 1972). 또한 이 중심 확장은 바르그만 군의 자명한 확장과 마찬가지로 운동량에 추가적인 스칼라를 더한다:
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
Jp는 파울리 군의 고전적 운동량을 나타낸다. 그러면 운동량의 공액 작용은 단순히 다음과 같이 된다:
(347)
계산은 어렵지 않으며, 위에서 제시한 것과 유사하다. 반작용을 계산하면:
(348)
그리고 쌍대성은 다음 스칼라의 일정함으로 표현된다:
(349)
...결과적으로 추가적인 스칼라 c를 얻게 되며, 이는 공액 작용에 의해 단지 보존된다. 이후 이 스칼라는 물리적 해석을 받지 못했다. 앞으로 이를 명확히 하겠다. 물론 군을 원하는 만큼 확장할 수 있다:
(350)
매번 추가적인 스칼라를 더한다
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } 그리고 공액 작용은 다음과 같이 된다:
(352)
독자는 "좋아, 왜 57개의 새로운 스칼라를 더하지 않는가?"라고 말할 것이다.
단지 여섯 개를 더하고, 이 새로운 스칼라들을 다음과 같이 정의한다:
(353)
c 1 = q (전하)
c 2 = cB (바리온 수)
c 3 = cL (경입자 수)
c 4 = cm (뮤온 수)
c 5 = ct (타우온 수)
c 6 = v (자기모멘트 계수)
이 군은 다음과 같은 10차원 공간 위에서 작용한다:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
즉, 시공간에 더해 여섯 개의 추가 차원이다.
(355)
이 군이 완전한 로렌츠 군 L의 동조 부분군
Lo = Ln (중성 성분) U Ls (공간 반사에 해당)
로부터 구성됨을 상기하자.
운동량은 다음과 같이 된다:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp는 파울리 군 Gop (동조 부분군)에 해당하는 운동량의 일부이다.
물리적 의미는 무엇인가?
...운동량은 n차원 다양체인 공간에 속한다. 파울리 군은 10차원을 가지므로, 파울리 군의 운동량은 10개의 양으로 구성된다.
그리고 우리는 그 군에 추가로 여섯 개의 차원을 더한다. 이는 추가적인 위상에 해당한다:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
운동량은 다음과 같이 된다:
(358) Jpe = { J1, J2, J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
우리는 다음 스칼라 집합 중에서
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
에너지 E, 운동량 p, 전달 f, 스핀 반대칭 행렬 l을 식별한다.
...E와 p는 가능한 모든 값을 취할 수 있지만, 양자적 논의는 입자와 함께 움직이는 좌표계에서 스핀 벡터의 크기 s가 일정해야 한다고 요구한다. 이는 여기서 정당화되지 않으며, 수리외의 작업에 해당한다.
우리는 여섯 개의 추가 스칼라를 갖는다:
(360) J1, J2, J3, J4, J5, J6
...무한히 많은 선택지 중에서 일부 이산적 선택이 실제 입자(및 반입자)에 해당함을 결정한다. 그러면 운동량 공간에 해당하는 16차원 다양체에서, 다음과 같은 양자수를 갖는 입자에 해당하는 이산적인 운동을 선택한다:
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...현재까지 군의 공액 작용은 주어진 운동을 따라 이러한 양들이 보존됨을 보장할 뿐이다. "수동적 양자수"가 존재하며, 갈릴레이 특수군의 자명한 확장에서 유래하는 질량도 수동적인 양으로 나타난다.