| 2 |
3 - 군론의 세 번째 공리:
군의 모든 원소는 그 역원을 가져야 하며, 이는 g-1 로 표기되고 다음과 같이 정의된다:
(15)
g x g-1 = g-1 x g = 1
우리의 예에서:
(16)
즉: b = - a 또는:
(17)
g-1 ( a ) = g ( - a )
여기서 역행렬의 계산은 자명하다.
주어진 정방행렬이 그 역행렬을 가질 조건은 무엇인가?
...모든 정방행렬에 우리는 행렬식이라 불리는 스칼라를 연관시킬 수 있다. 정의는 선형 계산법에 관한 아무 책이나 참조하라. 이 행렬식은 det ( g )로 표기된다.
또한 우리에게는 일반 정리가 있다:
det (g1 x g2) = det (g1 ) x det (g1 )
대각행렬의 행렬식은:
(18)
그 결과:
det ( 1 ) = 1
1은 대각행렬이기 때문이다.
행렬의 역원 정의로부터:
g x g-1 = g-1 x g = 1
그러면:
(19)
det ( g x g-1 ) = det (g) x det (g-1 ) = 1
...만약 det (g) = 0 이면 조건 (19)는 충족될 수 없다. 특정 원소들이 영행렬식을 갖는 행렬 집합들은 세 번째 공리를 충족하지 못하며, 군을 형성할 수 없다.
참고로:
(20)
4 - 군론의 네 번째 공리:
곱셈은 결합적이어야 한다. 즉:
(21)
( g1 x g2 ) x g3 =g1 x ( g2 x g3 )
행렬 곱셈은 기본적으로 결합적이다.
군의 차원:
...곧 보겠지만, 군은 열벡터로 기술되는 점들로 이루어진 공간에 작용할 수 있다. 예를 들어 시공간 점("사건"이라 불림):
(22)
...이것은 4차원 공간이다. 서로 다른 군들이 그 위에 작용할 수 있다. 그러나 군의 차원은 그것이 작용하는 공간의 차원과 아무 관련이 없다.
군(행렬의)의 차원은 이 정방행렬을 정의하는 매개변수의 수이다.
우리는 단일 매개변수 a로 정의되는 행렬의 예를 들었다.
따라서 이 군의 차원은 1이다.
참고하라:
(22-bis)
비고:
모든 행렬 군이 교환적인 것은 아니다, 비록 우리가 연구한 군은 이 성질을 갖지만:
(23)
만약 그러한 군이 2차원 공간에 대응하는 열벡터에 작용하면:
(23 bis)
그것은 평면에서 고정점 주위의 회전에 대응한다:
(23 ter)
이 연산은 명백히 교환적이다.
당신은 말하고 싶을 것이다: "모든 회전 군처럼".
...틀렸다. 주어진 점 O를 지나는 축 주위의 회전을 고려하라. 서로 다른 축 주위의 두 연속 회전을 결합하라. 이것은 교환적이지 않다. 연습: 직교 축 체계(OX, OY, OZ)를 사용하여, 이 축들 주위의 결합된 회전이 교환적 연산이 아님을 보여라. 아무 물체나 잡아라.
- OX 주위로 +90° 회전한 다음, OZ 주위로 +90° 회전하라
초기 조건으로 돌아가서:
- OZ 주위로 +90° 회전한 다음, OX 주위로 +90° 회전하라
결과를 비교하라.
군의 작용.
...군 G는 정방행렬 g로 구성된다. 그것들은 곱해질 수 있다. 우리는 군이 자기 자신에 작용할 수 있다고 말할 것이다.
군은 또한 열벡터로 기술되는 점들로 이루어진 공간에 작용할 수도 있다. 예:
(24)
만약 우리가 쓰면:
(25)
이 공간에 대한 군의 작용은 다음과 같아진다:
(26)
g x r
...이 특별한 경우에 공간에 대한 작용은 단순한 행렬 곱셈과 동일시된다. 그러나 작용의 개념은 훨씬 더 일반적이다.
