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괄호: 시공간 방향성
... 2차원 세계에서는 기하학적 대상을 문자로 간주했습니다. 3차원 세계에서는 그것들을 '오른손'과 '왼손'으로 간주했습니다.
4차원 구조는 움직이는 홀로그램으로 간주되었습니다.
... 5차원 구조, 혹은 10차원 구조란 대체 무엇일까요? 가끔 신이 부럽습니다. 당신도 그렇지 않나요?
... 신은 우리의 초라한 4차원 구조물을 보며 웃고 있을 것입니다.
... 그러나 이론 물리학자, 심지어 수학자조차 방향성이 있는 4차원 구조물에 불과합니다. 만약 그렇지 않다면, 그들은 과거와 미래를, 그리고 좌우를 구별할 수 없을 것입니다.
... 우주 전체는 4차원 구조입니다. 이를 국소적으로 구형 위상을 가진 닫힌 대상으로 생각해 봅시다. 시간을 t라고 합시다. 특정 시간에서 절단하면 3차원 초곡면이 됩니다. 만약 이 초곡면이 초구 S3라면, 시간은 의미를 가집니다. 시간 벡터는 이 초곡면을 가로지르며, 역설적인 상황은 발생하지 않습니다.
... 차원 수를 줄여봅시다. 닫힌 2차원 세계, 즉 일종의 시공간 (x, y, t)을 상상해 보십시오.
... 우리는 t = 상수에서 이를 절단할 수 있으며, 그러면 차원이 3 - 1 = 2인 기하학적 대상, 즉 2차원 곡면을 얻습니다. 임의의 점에서 방향성이 있는 법선 벡터는 시간의 화살표를 나타냅니다.
이 시공간이 시간 방향성을 가질 수 있다면 (닫혀 있다고 가정), 주어진 시간에서 공간은 S2 구입니다:
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... 하지만 공간을 나타내는 곡면이 한쪽 면만 가진다고 가정해 봅시다. 예를 들어 보이 곡면(Boys surface, 닫힌 한쪽 면 곡면입니다. 사이트의 '수학' 섹션을 참조하십시오)을 생각해 보십시오.
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뫼비우스 띠를 붙여 이러한 곡면을 만들 수 있습니다. 하나를 보여드리겠습니다:
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방향성이 있는 법선 벡터를 정의할 수 없다는 것을 알고 계실 것입니다:
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... 보이 곡면의 이중 피복(double cover)은 S2 구입니다. 만약 우리의 3차원 시공간을 우주 시간 t의 각 값에 대응하는, 러시아 인형처럼 배열된 S2 구들의 집합으로 간주한다면, 대척점(antipodal points)을 서로 연결할 수 있는 일종의 시공간을 (어렵게나마) 생각해 볼 수 있습니다. 이는 다음 논문에서 제안된 위상 구조입니다:
Jean-Pierre Petit: "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, July 1994, pp. 697-710.
... 또한, 구의 '적도'에 위치한 대척점들이 뫼비우스 띠의 이중 피복처럼 배열될 수 있다는 것을 압니다:
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이것이 공간의 대척 지역과 반대 방향의 시간 화살표를 어떻게 결합하는지 볼 수 있습니다.
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... 참고로, 이것이 거울상 이성질체(enantiomorphic) 대상들을 어떻게 결합하는지도 볼 수 있습니다.
... 공간은 4차원 초곡면입니다. 우주 시간 t를 정의할 수 있다면, t = 상수에서 절단할 수 있으며, 이 절단면들은 3차원 공간입니다. 공간이 닫혀 있다면, 이를 S3 구로 간주할 수 있으며, 이는 사영 공간 P3의 이중 피복(3차원에서 보이 곡면에 해당하는 것) 형태로 만들 수 있습니다. 이 연산은 반대 방향의 시간 화살표를 가진 지역들을 상호작용하게 할 것입니다.
