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필요한 것:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
그러나:
두 행렬의 곱은
일반적으로 교환 가능하지 않다. 결론적으로:
(181)
Ag(y)
= y x g
군의 작용이 아니다: 위의 공리들에 맞지 않는다. 그러나 "반작용"에 해당하는
다른 것에는 맞는다.
(182)
행렬의 경우:
(183
우리는 여전히 작용과 반작용을 찾고 있다. x 벡터로부터 전치된 것을 만들고 시도해 볼 수 있다:
(184)
이것은 작용인가?
가 보자.
g" = g
x g'
(185)
(186)
여기서 우리는 선형 계산의 한 정리를 사용한다:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
여기서 M과 N은
임의의 (n,n) 행렬이다. 따라서:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
그리고:
(189)
이것은 군의 작용이다. 이제 다음을 고려하자:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
이것이 작용임을 보여라.
우리는 다음 세 행렬을 고려할 것이다.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
필요한 것:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
첫 번째 항을 구성하면:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
또는:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
즉:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
이것은 군의 작용이다.
수리오 이후로 우리는 이것을 다음과 같이 부를 것이다:
딸림 작용:
(193)
이제 우리는 행렬 m에 대한 군의 반작용을 고려할 것이다.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
이것이 다음을 만족함을 보여라:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
첫 번째 항을 구성하면:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
또는:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
즉:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
또는:
(199)
g" -1
x
m x
g"
