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우리는 다음이 필요하다:
쌍대 작용.
우리는 위에서 하나의 작용을 구성했다:
(200)
그리고 하나의 반작용을:
(201)
첫 번째는 임의의 열벡터 m을 가리킬 수 있다:
(202)
m' = g xm
그리고 두 번째는 임의의 행벡터 n을 가리킬 수 있다:
(203)
n' = n
x g-1
m은 특정 공간 M에 속한다
n은 다른 공간 N에 속한다.
스칼라를 구성하라:
(204)
S = n m
다음을 주목하라:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...우리는 고려된 두 작용이 쌍대라고 말할 것이다. 마찬가지로 m과 n이 속하는 두 공간 M과 N은 쌍대 공간이다:
N = M* 또는 M = N*
보통 우리는 m이 벡터라면 n은 그 공벡터라고 말한다.
접두사 co는 쌍대성의 전형이다. Souriau가 지적했듯이, 쌍대성은 정치에도 존재하며 그는 덧붙인다:
- 쌍대성은 처음부터 마르크스-레닌주의에 존재했다. 뮤니스트와 공산주의자를 생각해 보라.
다른 관점을 취하라. 우리에게 하나의 작용이 있고, 우리가 그 쌍대를 구성하려 한다고 가정하자.
도식적으로:
(206)
...열벡터 m과 스칼라곱을 형성하기 위해, n은 행벡터여야 한다. 그러면 이 두 벡터는 동일한 수의 스칼라로 정의되어야 한다:
(207)
그런 다음 우리는 쌍대 작용을 찾는다:
(208)
n' = Ag(n)
그래서 스칼라곱:
(209)
이 불변이 되도록. 우리는 다음을 가져야 한다:
(210)
n' m'
= n m
우리는 다음을 가진다:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
그 해는:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
본질적 작용, 즉 군이 그 운동량 위에 가지는 코아조인트 작용을 구성하는 쪽으로 (Souriau에 따름).
우리는 군이 그 "운동량 공간" 위에 가지는 작용을 찾는다. 우리는 그것을 반작용의 쌍대로 구성할 것이다:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...앞 절에서 m은 벡터였다. 그러나 (214)에서 그것은 행렬이다. 우리는 특정 수의 매개변수에 의존하는 행렬을 취할 것이다:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
우리는 쌍대 스칼라 집합을 상상해야 한다:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
그래서:
(215)
도식적으로:
(216)
