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행렬 m의 선택.
...군 G는 어떤 곡면에 비유될 수 있다. 그것은 특정한 수의 매개변수에 의존한다. P를 군의 매개변수 공간, p를 이 공간의 한 점이라 하자. 이 매개변수 pi의 수는 군의 차원이다.
(217)
표시된 것: 중립 원소 e(단위 행렬 1).
증분 dp를 줄 수 있다:
(218)
...그런 다음 군의 원소인 행렬 g를 미분한다. 군에 속하지 않는 정방행렬 dg를 얻는다. 이를 "군에 대한 접벡터"라고 부른다. 이러한 접벡터들은 군의 소위 "리 대수"(그런데 대수가 아니다)를 형성한다.
우리는 중립 원소 근처에서 미분하기로 선택했다:
(219)
그리고 다음과 같은 반작용을 선택한다:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
비고:
왜 g = 1에서 군에 대한 접벡터를 선택하는가?
...군의 임의의 점에서 더 일반적인 접벡터 dg를 사용할 수도 있다. 같은 결과를 얻겠지만 계산은 훨씬 더 번거로울 것이다.
군의 차원은 n이다. 행렬 g는 n개의 매개변수 { pi }에 의존한다..
리 대수의 원소 d**g(g=e)**는 같은 수의 매개변수 {d pi }에 의존한다.
위의 반작용을 계산하면 다음과 같은 사상이 제공된다:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
같은 수의 스칼라를 도입한다:
{ J i }
이 집합을 군의 운동량 J라고 부른다.
J = { J i }
이는 n개의 양, n개의 스칼라의 집합이다. 때때로 이를 행렬로 넣을 수 있다(운동량에 대한 푸앵카레의 작용).
{ J i }는 군의 접벡터에 대한 여접벡터 { d p i }이다. 쌍대성은 다음을 제공한다:
(222)
이 스칼라곱의 보존으로부터, 사상:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
을 안다면, 쌍대 사상을 구성할 수 있다:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
이것이 우리가 찾는 본질적인 작용이며, 수리오는 이를 운동량 공간에 대한 군의 여수반작용이라고 부른다.
이 개념을 설명하는 가장 좋은 방법은 예를 드는 것이다:
운동량 공간 Jp 에 대한 푸앵카레 군의 여수반작용.
위에서 우리는 일반화된 로런츠 군을 제시했다. 다음을 선택하면:
(225)
원소 L이 공리적 정의를 따르는 로런츠 군 L을 얻는다:
(226)
시공간 벡터는
(227)
c = 1이면 기본 이차 형식인 민코프스키 계량을 얻는다:
(228)
역행렬은
(229)
이제 시공간 평행이동을 도입하자:
(230)
푸앵카레 군 Gp의 원소 gp를 다음과 같이 구성한다:
(231)
연습: 이것이 군을 형성함을 보이고 역행렬을 계산하라:
(232)
리 대수의 원소는
(233)
이고 반작용은:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
다음이
(235)
G d L
반대칭 행렬임을 주목한다. 이를 다음과 같이 부른다:
(236)
그로부터:
(237)
다음을 두자:
(238)
이로부터 반작용을 구성할 수 있다:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
이는 우리에게 사상을 제공할 것이다:
(240)
(240b)
(240c)
이것이 요구되는 사상이다:
(241)
