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...푸앵카레 군 Gp의 원소 gp는 매개변수 집합 {pi}로 정의되며, 그 수는 정의상 군의 차원이다. 행렬 dg(g=e)는 집합 {dpi}로부터 구성된다. 따라서 앞선 사상은 반작용에 대응한다:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
쌍대성을 도입하고 쌍대 사상을 구성하기 위해, 우리는 스칼라의 불변성을 가정한다:
(243)
푸앵카레 군의 차원은 10이므로, 우리는 모멘트 Jp의 성분인 열 개의 스칼라 { Ji }를 갖는다.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
우리는 이것을 두 대상으로 분할하기로 한다:
(244)
Jp= { M , P }
첫 번째인 M은 (4,4) 반대칭 행렬이다.
P는 사차원 벡터 (4,1)이다
(245)
그러면:
(246)
Jp= { M , P } = { M , p , E}
스칼라곱을 다음과 같이 쓴다:
(247)
Tr은 대각합을 의미한다. 스칼라곱의 불변성은 다음을 준다
(248)
여기서:
(249)
(249b)
(249c)
그러나 GG = 1이다. 그러면:
(250)
(250b)
(251)
즉:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
이 여작용은 행렬 형태로 나타낼 수 있다:
푸앵카레 군의 원소는:
(254)
그것의 전치는:
(255)
행렬을 고려하자:
(256)
다음과 같이 쓴다:
(257)
(258)
(259)
이는 다음 행렬과 동일시될 것이다:
(260)
그러면 Jp는 푸앵카레 군의 운동량으로서 행렬에 넣어지며, 여작용은 다음과 같다:
(261)
연습: 이것이 작용인지 확인하라.
운동량-행렬은 다음에 대응한다:
(262)
반대칭 행렬 M의 대각선은 0으로 이루어진다.
(263)
이는 여섯 개의 매개변수에 의존한다.
(264)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
행렬을 쓰자:
(265)
마지막 세 성분 ( fx , fy , fz)은 수리오가 통과 벡터 f라고 부르는 것을 형성한다:
(266)
처음의 ( lx , ly , lz)는 반대칭 행렬 (3,3)의 독립 성분이며, 수리오는 이를 스핀 행렬이라고 부른다.
(267)
따라서:
(268)
벡터 P는 충격량-에너지 사차원 벡터이다:
(269)
그러면 푸앵카레 군의 운동량은 가장 일반적인 형태로 명시될 수 있다:
(270)
이는 열 개의 성분을 가진다:
(271)
Jp= { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
