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스핀을 지닌 입자들.
...푸앵카레 군은 점 같은 물체의 상대론적 운동을 기술한다. 마찬가지로 바르그만 군은 비상대론적 운동을 기술한다. 운동량의 성분들은 순수한 기하학적 양으로서 나타난다. 그것은 물리학의 기하학화이다.
물리학자들은 에너지 E와 운동량 벡터 p에 익숙하다. 그러나 그들은 나머지 두 대상, 즉 통과량 f와 스핀 벡터 l에 다소 당혹스러워할 수 있다. 운동량 성분들의 형태는 좌표 선택에 달려 있다.
...각 동역학 군은 자신의 운동량 공간과 이 운동량 공간 위에서의 여수반작용을 지닌다. 만약 우리가 처음에 상대론적 세계(푸앵카레 군)를 선택하는 대신 비상대론적 세계를 선택했다면, 우리는 바르그만 군을 참조해야 했을 것이다. 계산 세부 사항은 군에 관한 나의 강의를 보라.
바르그만 군은 갈릴레오 군의 비자명한 확장이다:
(272)
독자가 볼 수 있듯이, 이 군은 5차원 공간 위에서 작용한다:
r : 공간
t : 시간
z : 추가 변수.
...추가 변수 또는 추가 변수들에 관한 이러한 문제들은 더 뒤에서 다루어질 것이다. 이 사이트에서는 푸앵카레 군의 여수반작용의 완전한 계산이 위에 주어져 있다. 바르그만 군의 운동량 위에서의 여수반작용 계산도 도출할 수 있을 것이다. 역설적으로, 비상대론적 세계에서의 계산은 상대론적 세계에서의 계산보다 다소 더 복잡하다.
결과는 다음과 같다:
(273)
물리학자는 속도와 같은 몇몇 익숙한 대상들을 식별한다:
(274)
그리고 운동 에너지:
(275)
m v는 운동량이다.
무엇에 대한 속도인가?
군은 운동의 매개변수들을 변화시켜, 입자에게 속도 v와 운동 에너지 E를 부여한다.
우리는 반대의 해석을 선택하여, 군이 어떤 것, 즉 입자에 대한 특별한 관점이라고 간주할 수 있다.
만약 우리가 군 SO(3), 즉 행렬 a를 고려한다면, 그것은 "다른 각도에서 본" 것을 의미한다.
만약 우리가 군 O(3), 즉 행렬 a를 고려한다면, 그것은 "거울을 통해" 그 "것"을 관찰할 가능성을 추가한다.
유클리드 군의 평행이동 벡터
(276)
는 "다른 곳에서 본" 것을 추가한다.
동역학 군들에서, 군 안에 속도 v가 존재한다는 것은 관찰자가 움직인다는 것을 의미한다.
시간 평행이동 e = Dt는 관찰자가 얼마간의 지연 후에 그 것을 본다는 것을 의미한다.
평행이동 벡터 Dr과 시간 지연 Dt는 시공간 평행이동 벡터 안에 함께 놓일 수 있다:
(277)
공식들을 보라, 바르그만 군으로부터 우리는 다음을 본다:
m' = m
관점이 무엇이든, 질량은 변하지 않는다.
이 "관점"을 조금 단순화하여, a = 1을 선택하자.
여수반작용은 다음과 같이 된다:
(278)
...여수반작용은 운동의 매개변수들의 변화를 나타낸다. 만약 우리가 정상 상황에서 비정상 상황으로 넘어간다고 간주한다면, 초기 조건들은 다음에 해당한다:
E = 0 ( 영 에너지 )
p = 0 ( 영 운동량, 영 속도 )
"통과량" f = 0
그러면 여수반작용은 다음을 준다:
(279)
"고려하다"는 그 어원적 의미로 읽어야 한다.
한 집행관이 말한다:
- 조사 겸 목록 작성을 행함.
...사물에 대한 정적(v = 0) 시각은 유클리드 군에 해당한다. 집행관은 거리 c에서 사물들을 관찰한다. 그는 사건들이 일어나는 시간에 사실들을 관찰한다(Dt = 0). 경우에 따라 그는 특정 각도에서 본다(a가 1과 다름).
...비행기를 타고 전장을 상공에서 보는 장군은 일종의 집행관으로서, 움직이는 관점(속도 v로 순항하는 비행기에서)에서 사물들을 관찰한다.
...그러나 사령부에 있는 장군이 몇 시간 전에 무인 비행기, 즉 드론이 찍은 영화를 보면서 말한다:
- 목표물을, 한 시간 전의 그것으로서(영이 아닌 Dt), 움직이는 관측 지점(영이 아닌 v)에서, 5천 피트의 고도(영이 아닌 c)에서, 속도 v로 순항하며 특정 각도(a가 1과 다름)를 통해 사진을 찍어 고려함.
...목표물은 "고정된" 건물로 여겨지더라도 정의된 속도도, 위치도, 방향도 지니지 않는다. 모든 것은 상대적이다. 지구, 태양, 우리 은하조차도 공간을 가로질러 움직인다.
...지구의 "북극"은 태양의 "북극"과 23° 다르며, 춘분점 세차로 인해 시간에 따라 변한다(26,000년). 태양이 가리키는 북(그 자체의 자전축)은 우리 은하, 즉 은하수가 가리키는 북과 같지 않으며, 은하수는 자체의 회전 운동을 지닌다(90°의 차이). 은하조차도 시속 300마일로 움직인다. 무엇에 대하여? 다른 것들에 대하여. 그것이 우리가 말할 수 있는 전부다.
군은 두 가지 다른 관점에 해당한다.
...만약 내가 물체가 정상적이고, 공간과 시간 속에 고정되어 있으며, 회전 운동을 지니지 않는다고 간주한다면, 내가 말할 수 있는 전부는 다음과 같다:
- 만약 내가 거리 c로 떨어져 움직인다면.
- 만약 내가 속도 v로 순항할 때 그 것을 관찰한다면.
- 만약 이 것에서 오는 정보가 시간 지연 Dt를 두고 나에게 도달한다면.
나에 대하여:
---> 물체의 질량은 변하지 않는다.
----> 나는 물체에게 겉보기 운동량으로 간주되는 운동량 mv를 부여한다.
-----> 물체는 "통과량" f = m [ c - v Dt ]를 얻는다
----> 그것은 스핀을 얻는다
(279b)
더 명시적인 방식으로 쓰면:
(280)
(281)
(282)
또는:
(283)
스핀 행렬 l의 세 독립 성분들을 벡터의 성분으로 간주할 수 있다:
(283b)
...비록 벡터곱이 우리 공간에서 정의되지 않았더라도, 즉 우리가 공간에 좌-우 방향을 부여하지 않았더라도, 우리는 마지막 표현을 벡터곱으로 간주할 수 있다.
(284)
...역방향 v는 벡터곱을 나타낸다. 여수반작용을 주는 공식들의 마지막 줄이 다음에 해당함을 본다:
(285)
l은 행렬이지 벡터가 아니다. 그러나 선택된 표기에 따르면, 굵은 글자는 행렬 또는 벡터를 구별 없이 나타낸다.
이 벡터는 물리학자에게 익숙한 어떤 것, 즉 운동량 모멘트와 닮아 보이기 시작한다.
