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특수 갈릴레이 군.
...독자는 이 확장을 수리오의 저서 《동역학계의 구조》(Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997)와, 프랑스어판 《동역학계의 구조》(Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973)에서 찾을 수 있을 것이다.
...군은 확장될 수 있다. 그것은 군이 의존하는 매개변수의 수가 증가한다는 것을 의미한다. 갈릴레이 군이 의존하는 매개변수의 수를 계산해 보자. 우리는 3차원 회전 행렬에서 시작한다:
(322)
그것은 직교 행렬이다:
(323)
이 행렬들은 모든 직교 행렬로 구성된 군 O(3)의 부분군인 군 SO(3)를 형성한다. 우리는 다음을 갖는다:
(324)
다음과의 차이를 상기하라:
(325)
(325b)
는 가장 일반적인 직교 행렬이며, 그 행렬식은 다음을 따른다:
(326)
이 괄호를 끝낸다.
다음의 (5,5) 정방 행렬 군은 특수 갈릴레이 군이라 불릴 것이다:
(327)
회전 행렬은 세 개의 자유 매개변수, 즉 오일러 각에 의존한다. 따라서 군의 차원은 10이다.
다음의 표기법을 사용하면:
(328)
우리는 다음을 얻는다:
(329)
시공간 벡터와 연관하여:
(330)
따라서 특수 갈릴레이 군의 대응하는 작용은 다음과 같다:
(331)
...특수 갈릴레이 군이 주어지면, 그 군이 운동량 공간에 작용하는 작용을 계산하는 것이 가능하다. 계산은 여기서 제시하지 않을 것이다. 독자는 이용 가능한 나의 군론 강의에서 그것을 찾을 수 있다.
결과를 제시하자:
(332)
우리는 운동량 p와 에너지 E를 알아본다. 운동량은 다음으로 구성된다:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...열 개의 스칼라 양. 군에 대한 열 개의 차원. 우리는 여전히 통과 벡터 f와 반대칭 스핀 행렬 l(세 개의 독립 성분 lx, ly, lz로 구성되며 "스핀 벡터"를 형성한다)을 갖는다.
특수 갈릴레이 군의 자명한 확장.
다음의 행렬들은 새로운 군을 형성한다.
(334)
그것은 새로운 성분 f, 즉 스칼라인 "파시스"(양자 세계와 연결된)를 도입한다. 군의 차원은 다음과 같이 된다
10 + 1 = 11
이 새로운 군은 오차원 공간에 작용한다:
(335)
z는 "추가 차원"이다. 그것은 1921년 폴란드인 칼루자에 의해, 그다음 1964년 J. M. 수리오에 의해 처음 도입되었다(《기하학과 상대성》, Géométrie et relativité, Hermann Editeur, 영어로 번역되지 않음).
여기서도, 군이 운동량 공간에 작용하는 대응하는 여수반작용을 계산할 수 있다. 우리는 다음을 발견한다:
(336)
운동량은 다음과 같이 된다:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...우리는 스칼라 m을 하나 더 갖게 되며, 그것을 질량으로 식별한다. 우리는 시공간에 작용하는 특수 갈릴레이 군이 에너지는 운동량의 성분으로 가져오지만 질량은 가져오지 않는다는 것을 본다. 현재(자명한 확장을 통해) 우리의 입자는 추가적인 속성을 얻게 되며, 그것은 매우 임의적으로 질량으로 식별되고, 운동량의 다른 성분들과 상호작용하지 않는다.
