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특수 갈릴레이 군의 비자명한 확장.
바르그만 군 (1960)
다음 행렬들
(군에 관한 나의 강의 참조)
(338)
은 1960년 바르그만이 발견한 군을 이룬다. 여기서도 이 군은 5차원 공간 위에 작용한다. 스칼라 f의 존재 때문에 그 차원은 11이다. 이것은 특수 갈릴레이 군의 비자명한 확장이다.
(339)
만약 이 군의 운동량에 대한 여수반작용을 계산하면 다음을 얻는다:
(340)
...우리는 이 여수반작용이 더 정교하며 질량이 운동량의 다른 성분들과 상호작용한다는 것을 본다. 우리는 위에서 그것을 분석했고 그것이 운동량 성분들의 물리적 의미를 어떻게 가져오는지 보였다.
...운동량은 주어진 입자의 운동이다. 바르그만 군은 비상대론적 운동을 기술한다. 우리는 에너지도, 충격량도, 스핀도 없는 정지한 입자를 고려할 수 있다. 단지 0이 아닌 질량만 있을 뿐이다:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
우리는 바르그만 군의 다음 원소를 사용한다:
(341)
운동량의 성분들은 다음과 같이 된다:
(342)
...입자에 연결된 좌표계에서 통과 f는 여전히 0이다. 우리는 스핀 행렬이 운동량과 동일시된다는 것을 보였다.
...여기서 중요한 것은 특수 갈릴레이 군의 자명한 확장을 보는 것이다(왜 "특수"인가? 이것은 더 뒤에 설명될 것이다). 이 자명한 확장을 수행할 때, 그것은 단지 운동량에 추가적인 스칼라를 가져올 뿐이다.
푸앵카레 군을 확장해 보자:
푸앵카레 군의 중심 확장.
(343)
"ep"는 "확장된 푸앵카레 군"을 의미한다. Lo는 완전 로런츠 군 L의 정시 부분군 Lo의 원소이다. 따라서 우리는 위의 원소를 완전 확장 푸앵카레 군의 정시 부분군 Gepo로 간주할 수 있으며, 그 원소는 다음과 같다:
(344)
둘 다 5차원 공간에 작용한다:
(345)
( t , x , y , z , z ).
이 확장은 1과 f 사이의 첫 줄에 0이 아닌 항, 즉 0 = ( 0 0 0) 대신에 설 수 없다는 것을 보일 수 있다.
...J.M.수리오가 보인 것처럼, 기하학적 양자화 방법(코스탄트-키릴로프-수리오 방법)은 바르그만 군으로부터 슈뢰딩거 방정식을, 확장된 푸앵카레 군으로부터 클라인 고든 방정식을 가져온다( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). 게다가 이 군의 중심 확장은 (바르그만 군의 자명한 확장에서처럼) 운동량에 추가 스칼라를 더한다:
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp는 고전적 푸앵카레 운동량을 나타낸다. 그러면 운동량의 여수반작용은 단순히 다음과 같이 된다:
(347)
계산은 복잡하지 않으며 위에 제시된 것과 유사하다. 우리는 반작용을 계산한다:
(348)
그러면 쌍대성은 다음 스칼라의 불변성을 통해 표현된다:
(349)
...그래서 우리는 추가 스칼라 c를 얻으며, 이것은 여수반작용을 통해 그저 보존된다. 지금까지 이 스칼라는 물리적 해석을 받지 못했다. 우리는 다음에서 이 모든 것을 명확히 할 것이다. 분명히 우리는 원하는 만큼 군을 확장할 수 있다:
(350)
매번 그것은 추가 스칼라를 더한다
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
그리고 여수반작용은 다음과 같이 된다:
(352)
독자는 "그럼, 왜 우리는 57개의 새로운 스칼라를 더하지 않는가?"라고 말할 것이다.
그저 여섯 개를 더하고 이 새로운 스칼라들을 다음과 동일시하라
(353)
c 1 = q (전하)
c 2 = cB (중입자 전하)
c 3 = cL (렙톤 전하)
c 4 = cm (뮤온 전하)
c 5 = ct (타우온 전하)
c 6 = v (회전자기 계수)
군은 다음 10차원 공간에 작용한다:
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
즉: 시공간 더하기 여섯 개의 추가 차원.
(355)
이 군이 완전 로런츠 군 L의 정시 부분군
Lo = Ln(중성 성분) U Ls (공간 반전을 달성하는)
로 구성된다는 것을 상기하라.
운동량은 다음과 같이 된다:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp는 푸앵카레 군 Gop(정시 부분군)에 대응하는 운동량의 부분이다.
물리적 의미는 무엇인가?
...운동량은 n-다양체인 공간에 속한다. 푸앵카레 군은 열 개의 차원을 가지므로, 푸앵카레 군 운동량은 열 개의 양으로 구성된다.
그러면 우리는 추가 위상에 대응하는 여섯 개의 차원을 군에 더한다:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
운동량은 다음과 같이 된다:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
우리는 스칼라들의 집합
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
중에서 에너지 E, 운동량 p, 통과 f, 스핀 반대칭 행렬 l을 동일시하기로 결정한다.
...E와 p는 모든 가능한 값을 취할 수 있지만, 양자적 논증은 (입자에 연결된 좌표계에서) 스핀 벡터의 크기 s의 불변성을 강요하며, 이것은 여기서 정당화되지 않고 수리오의 작업에 대응한다.
우리는 여섯 개의 추가 스칼라를 가진다:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...우리는 가능한 선택들의 무한함 중에서 어떤 이산적 선택들이 실제 입자들(그리고 반입자들)에 대응한다고 결정한다. 그러면 운동량 공간에 대응하는 16-다양체에서 우리는 정의된 양자수를 가진 입자들에 대응하는 이산적 운동들을 선택한다
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...당분간 군의 여수반작용은 주어진 운동들을 따라 이 양들의 보존만을 보장한다. 질량이 특수 갈릴레이 군의 자명한 확장에서 생겨났을 때 수동적 양으로 나타났던 것처럼, 이것들은 "수동적 양자수"이다.
