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반물질의 기하학적 정의
...수리아우(Souriau)가 1964년 에르만(Hermann) 출판사에서 발간한 『기하학과 상대성이론(Géométrie et Relativité)』 제7장 "5차원 상대성이론(La Relativité à Cinq Dimensions)" 413쪽에서 언급했듯이, "제5차원의 반전은 전하 켤레 변환에 대응한다."
...이것은 반물질이 디랙(Dirac)의 정의에 부합한다면 참이다. 여기서 반물질의 선험적 기하학적 정의를 제시하자. 우리는 차원을 가진 공간을 다음과 같이 상상할 수 있다:
(368)
이것은 섬유화 시공간(fibered space-time)을 사용하여 다음과 같이 도식화할 수 있다:
(369)
...물질의 운동은 양의 $z_i$ 값에 대응하고, 반물질의 운동은 음의 값에 대응한다고 결정하면, 이는 다음에 대응된다:
(370)
이 요소를 포함하도록 군(group)을 수정하는 것은 쉽다.
(371)
이것은 4성분 군 $(l = \pm 1) \times 2$가 된다 (확장된 직교 시간 보존 군은 두 개의 연결 성분을 가진다).
성분 $(l = +1)$은 부분군(sub-group)이다.
...명백히, $(l = -1)$인 요소들은 추가 변수들의 부호를 바꾼다. 우리는 순수한 기하학적 근거에 따라 이것이 물질과 반물질의 이중성에 대응한다고 결정한다.
다음과 같이 놓자:
(380)
그러면 더 간결한 형태로 쓸 수 있다:
(381)
l = 1은 직교 시간 보존 부분군에 대응한다.
(382)
우리가 "l-가환자(l-commuter)"라 부를 것을 도입하자:
(383)
이것은 두 번째 성분에 속한다. 그러나 이 두 번째 성분의 모든 요소는 다음과 같이 쓸 수 있다:
(384)
g₀ = gₗₑ × g₀
여기서 g₀는 군의 직교 시간 보존 성분에 속하는 요소이다.
도식적으로:
(385)
왼쪽: 두 개의 반공간(half-spaces)을 가진 운동 공간으로, 다음에 대응한다:
($z_i > 0$) 운동 (물질)
그리고
($z_i < 0$) 운동 (반물질)
두 반공간 사이에는:
$z_i = 0$ 운동 (광자)이 있다.
...오른쪽: 4성분 군. 모든 성분은 직교 시간 보존이다. 모든 운동은 양의 에너지에 대응한다 (아래는 운동량 공간).
$(l = -1)$인 요소들을 "반-요소(anti-elements)"라 부르자.
우리는 l-가환자의 반-요소를 도식화하였다.
...일반적인 직교 시간 보존 요소들은 양의 에너지 운동에 대응하는 운동량 J₁₊를 다른 양의 에너지 운동 J₂₊로 변환한다.
...그러나 반-요소들은 운동량 공간에서 양의 에너지를 가진 물질의 운동을 양의 에너지를 가진 반물질의 운동으로 변환한다 (J₁₊ -----> J₃₊). 도식화된 점은 반물질에 대응하는 사분면에 위치한다.
해당 경로들은 진화 공간(evolution space)에 도식화되어 있다.
(385b)
군의 여수반 작용(coadjoint action) 계산
(386)
그 운동량에 대한 결과는 다음과 같다:
(387)
참고:
J.P. Petit 및 P. Midy: "군의 운동량 공간에 대한 여수반 작용을 통한 물질과 반물질의 기하화 2: 디랙 반물질의 기하학적 설명". Geometrical Physics B, 2, 1998.
