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3 - 군의 세 번째 공리: 모든 원소는 역원을 가져야 하며, g-1 로 표기하고 다음과 같이 정의된다:
g x g-1
= g-1 x g = 1
우리의 예에서 이것은 다음과 같이 쓰인다:
즉 b = - a 또는:
g-1 ( a ) = g( - a )
...여기서 역행렬의 계산은 당연한 것으로 여겨졌다. 그러나 항상 그런 것은 결코 아니다. 그렇다면 고려되는 집합의 모든 행렬이 역원을 가지려면, 즉 가역이려면 무엇이 필요한가? 그 행렬식이 영이 아니면 필요충분하다(독자는 선형대수학 강의를 참조하기 바란다). 한 정리에 따르면 행렬 곱의 행렬식은 그 행렬식들의 곱과 같다. 행렬식의 정의 자체에 의해 대각행렬의 행렬식은 그 구성 항들의 곱과 같다. 예를 들어:
결과: 모든 단위행렬 1 의 행렬식은 1이다. 따라서:
det ( g ) 에 det ( g-1)를 곱한 것은 단위 ¹ 0 과 같다
결과: 행렬식이 영인 행렬은 역원을 가질 수 없으며, 이는 정의와 모순된다. 또한:
4 - 군의 네 번째 공리: 합성 연산은 결합법칙을 따라야 한다:
( g1 x
g2 ) x
g3 = g1 x
( g2 x
g3 )
항상 그렇다....
군의 차원:
...(행렬)군의 차원에 관한 작은 괄호를 열자면, 이는 군을 구성하는 행렬들의 계수나 "이 군이 작용하는 공간"을 구성하는 양들의 수(예를 들어 2차원 공간 (x,y) 또는 4차원 시공간 (x,y))와는 아무 관련이 없다.
...우리는 여기서 단일 매개변수 a를 가진 정방행렬들의 한 가족이 군을 형성한다는 예를 가지고 있다. 더 나아가 n개의 매개변수로 정의되는 정방행렬들로 구성된 군들을 발견하게 될 것이다: 여섯, 열, 열여섯, 무엇이든.
군의 정방행렬들을 정의하는 데 사용되는 매개변수의 수를 군의 차원이라 부를 것이다.
우리는 여기서 매개변수 a를 가진 행렬 가족으로 구성된 군을 다루고 있다. 이 군의 차원은 1이다.
참고로:
비고:
...군들, 그리고 여기서 우리가 관심을 갖는 군들은 자동적으로 교환법칙을 따르지 않는다. 오히려 그것이 예외다. 우리의 예시 군은 교환법칙을 따른다:
...이 군에서 우리는 고정된 축을 중심으로 하는 2차원 회전 행렬들을 알아볼 수 있을 것이다. "구체적으로" 이 연산은 "당연히 교환법칙을 따른다". 축을 중심으로 회전시키는 것:
- 먼저 각도 a만큼, 그 다음 각도 b만큼
또는:
- 먼저 각도 b만큼, 그 다음 각도 a만큼
은 같은 결과를 낳는다.
당신은 말할 것이다: "당연하지. 회전군은 본질적으로 교환법칙을 따른다".
...틀렸다. 그것은 2차원의 성질이다. 3차원에서는 더 이상 통하지 않는다. 세 개의 직교 축 (OX,OY,OZ)을 중심으로 하는 회전들의 집합으로 구성된 특정한 군을 생각해 보라.
연습: 물체를 하나 들어 다음과 같이:
-
먼저 OX를 중심으로 + 90° 회전
-
그 다음 OZ를 중심으로 + 90° 회전
시킨 다음, 같은 회전들을 역순으로 시켜 보면 같은 결과에 도달하지 못함을 보일 것이다. 이 연산은 비가환적이다.
군의 작용.
...군 G는 정방행렬들의 집합으로 구성된다. 우리는 이미 그것이 자기 자신 위에 작용한다고 간주할 수 있다(군의 작용을 정의하는 공리들을 더 아래에서 보라, 핵심 개념이다).
...우리의 예시 군은 또한 "2차원 공간"의 점들 위에 작용할 수 있다. 그것이 그 점들을 회전시킨다고 말할 것이다. 군은 운반하기 위해 존재하지만, 정확히 무엇을 운반하는가?
...바로 그 점이 중요한 것이 아니다. J.M.수리오의 저서 "자연의 문법"을 인용하며, 우리는 그와 함께 말할 것이다:
운반하는 방식이 운반하는 것보다 낫다.
우리의 예시 군의 경우, 행렬들은 2차원 공간 (x,) 위에 작용하며, 해당 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다
만약 (열 행렬)을 놓으면:
그러면 작용은 단순히 다음과 같이 쓰인다:
g x
r
...이 특별한 경우 우리 군의 작용은 (x,y) 공간 위에서 행렬 곱셈과 동일시된다. 그러나 우리는 그것이 단지 특별한 작용일 뿐이며 물리학에서 근본적인 작용 개념이 훨씬 더 일반적임을 보여주고자 한다.
