군과 물리학에서의 코어드준트 작용 운동량
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...이 분야에서 앞으로 다룰 모든 내용은 군을 중심으로 전개된다. 군에 대한 완전한 강의 없이도 이 부분을 대중적으로 이해할 수 있는 개요를 제공할 수 있을까? 또한 군과 입자 사이에는 어떤 관계가 있는가? 초보자에게는 이 모든 것이 매우 신비로워 보일 수 있다.
...먼저 군이란 무엇인가? 앞으로 다룰 것은 (n,n) 형식의 정사각 행렬의 단순한 집합이다. 이러한 행렬들이 서로 작용할 수 있도록 해주는 연산은 행렬 곱셈(행-열)이다.
이러한 모든 행렬 집합은 항상 다음과 같은 항등원을 가진다:
...군은 명백히 소푸스 리에 의해 제시된 공리에 따라야 한다. 군의 공리는 행렬의 공리보다 더 일반적이지만, 우리에게는 항상 정사각 행렬로 이루어진 군만 존재하며, 그 작용은 전통적인 행렬 곱셈(행-열)으로, 기호로는 ×로 표기한다.
1 - 군의 첫 번째 공리: 어떤 집합의 두 원소를 조합할 수 있는 조합 연산 이 존재해야 하며, 이 연산은 해당 집합에 대해 내부적 이어야 한다. 즉, 행렬 곱셈의 경우 다음과 같다:
행렬 집합 G의 원소 g₁과 g₂가 있을 때, 이들을 조합하면 다음과 같은 정사각 행렬이 얻어진다:
g₃ = g₁ × g₂
이때 반드시 행렬 g₃가 집합 G에 속하고, 동일한 형식을 가져야 한다. 즉:
...당신은 아마 이렇게 말할 것이다: "2×2 또는 5×5 정사각 행렬은 g₃ = g₁ × g₂가 동일한 형식을 가지므로 이 조건을 만족한다." 그러나 이 집합은 너무 광범위하고 모호하다. 아무것도 할 수 없으며, 특히 물리학적으로도 쓸모가 없다. 게다가 다음 공리들을 자동으로 만족하지도 않는다. 나중에 더 자세히 살펴보자.
간단한 예로, 매개변수 a를 가진 행렬 집합이 군을 이룬다고 가정해 보자:
이러한 형식의 두 행렬을 조합해 보자:
또는:
g(a) × g(b) = g(g) = g(a + b)
곱행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다:
이는 g₁과 g₂와 동일한 형식을 가진다. 즉:
역사례: 다른 매개변수 a를 가진 행렬 집합을 고려해 보자.
이러한 형식의 두 행렬을 조합해 보자:
얻어진 행렬은 (5)형식이 아니다. 마그리트가 말했듯이 "이것은 군이 아니다." 단지 부호 하나를 바꾸기만 했을 뿐이다.
2 - 군의 두 번째 공리:
항등원 e가 존재해야 하며, 다음 조건을 만족해야 한다:
g "조합" e = e "조합" g = g
...정사각 행렬의 경우 이 항등원은 항상 단위행렬 1이며, 굵은 글자로 표기한다. 이후부터는 모든 행렬과 일반적으로 스칼라가 아닌 모든 대상은 굵은 글자로 표기하고, 스칼라에는 얇은 글자를 사용하기로 한다. 이 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다:
g × 1 = 1 × g = g
우리의 예에서:
이때 다음과 같은 사실을 주목하자: