군과 물리학의 코어드 조작 운동량
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3 - 군의 세 번째 공리 : 모든 원소는 그 역원, 즉 g⁻¹로 표기되며, 다음 조건을 만족해야 한다.
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
우리의 예에서 이를 쓰면 다음과 같다:
즉, b = -a 또는
g⁻¹(a) = g(-a)
...여기서 행렬의 역행렬 계산은 당연한 것으로 여겨졌다. 그러나 항상 그렇지는 않다. 그렇다면, 고려하는 집합의 모든 행렬이 역행렬을 가지려면 무엇이 필요할까? 즉, 그 행렬이 역행렬을 가질 수 있는 조건은 무엇인가? 그 조건은 그 행렬의 행렬식이 0이 아니어야 한다는 것이다(선형대수학 수업을 참고하라). 한 정리에 따르면, 행렬들의 곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱과 같다. 행렬식의 정의에 따라 대각행렬의 행렬식은 그 구성 요소들의 곱과 같다. 예를 들어:
결과: 모든 단위행렬 1의 행렬식은 1이다. 따라서
det(g)와 det(g⁻¹)의 곱은 1이 되어야 한다.
결론적으로, 행렬식이 0인 행렬은 역행렬을 가질 수 없으며, 이는 정의에 위배된다. 또한:
4 - 군의 네 번째 공리 : 합성 연산은 결합법칙을 만족해야 한다.
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
이것은 항상 성립한다...
그룹의 차원:
...행렬로 구성된 그룹의 차원에 대해 잠깐 설명하자. 이 차원은 그 구성 행렬의 랭크나, 그룹이 작용하는 공간의 차원(예: 2차원 공간 (x,y) 또는 4차원 시공간 (x,y,z,t))과는 전혀 관련이 없다.
...여기서 우리는 단일 매개변수 a를 가진 정사각행렬의 집합이 그룹을 이룬 예를 볼 수 있다. 나중에는 n개의 매개변수로 정의되는 정사각행렬로 이루어진 그룹들(6개, 10개, 16개, 또는 어떤 수든 상관없음)을 찾을 수 있다.
그룹의 정사각행렬을 정의하는 데 필요한 매개변수의 수를 그룹의 차원이라 부른다.
이 경우, 우리는 단일 매개변수 a를 가진 행렬의 집합으로 구성된 그룹을 다루고 있다. 따라서 이 그룹의 차원은 1이다.
한 가지 주의할 점은 다음과 같다:
참고:
...그룹, 특히 우리가 관심 있는 그룹들은 자동으로 교환법칙을 만족하는 것은 아니다. 오히려 교환법칙이 성립하는 경우가 예외다. 우리 예시의 그룹은 교환법칙을 만족한다:
...이 그룹이 2차원 회전 행렬임을 알아차렸을 것이다. 실제 상황에서 이 연산은 "분명히 교환법칙이 성립한다". 한 축을 중심으로:
-
먼저 각도 a만큼 회전한 후, 각도 b만큼 회전하거나,
-
먼저 각도 b만큼 회전한 후, 각도 a만큼 회전하거나,
결과는 동일하다.
당신은 "물론이다. 회전 그룹은 본질적으로 교환법칙을 만족한다"고 말할 것이다.
...그건 틀렸다. 이것은 2차원에서만 성립하는 성질이다. 3차원에서는 성립하지 않는다. 세 직교축(OX, OY, OZ)을 중심으로 하는 회전들의 집합을 고려해 보자.
연습문제: 어떤 물체를 가지고 다음과 같은 순서로 회전시키고, 그 순서를 반대로 바꿔보면 동일한 결과가 나오지 않음을 보여라.
- 먼저 OX축을 중심으로 +90° 회전하고,
- 그 다음 OZ축을 중심으로 +90° 회전한다.
그리고 반대로, 먼저 OZ축을 중심으로 +90° 회전하고, 그 다음 OX축을 중심으로 +90° 회전한다. 결과가 다름을 알 수 있다. 이 연산은 교환법칙을 만족하지 않는다.
그룹의 작용
...그룹 G는 정사각행렬의 집합으로 구성되어 있다. 이미 그룹이 자신에게 작용한다고 볼 수 있다(나중에 그룹의 작용을 정의하는 공리들을 살펴볼 것이다. 이 개념은 매우 중요하다).
...우리의 예시 그룹은 2차원 공간의 점들에도 작용할 수 있다. 이 경우, 그룹은 점들을 회전시킨다고 말할 수 있다. 그룹은 무엇을 운반하기 위해 존재하는가?
...정확히 말해, 무엇을 운반하는지는 중요하지 않다. J.M. Souriau의 저서 『자연의 문법』에서 인용하여 말하자면:
운반하는 방식이 운반되는 것보다 더 중요하다.
우리 예시 그룹의 경우, 행렬은 2차원 공간 (x,y)에 작용하며, 이에 해당하는 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다.
만약 (행렬-열벡터)를 다음과 같이 정의하면:
그러면 작용은 간단히 다음과 같이 표현된다:
g × r
...이 특별한 경우, 그룹의 작용은 2차원 공간 (x,y)에서 행렬 곱셈과 일치한다. 그러나 우리는 이것이 단지 특별한 경우에 불과하며, 물리학에서 매우 중요한 개념인 작용의 개념이 훨씬 더 일반적임을 보이고자 한다.