군과 물리학의 코어드인 작용, 운동량
| 3 |
|---|
이동 군:
...2차원 공간 (x, y)를 고려하자. 이 공간에서 이동은 스칼라 쌍 (Dx, Dy)에 해당하며, 보통 다음과 같이 쓴다.
x' = x + Dx
y' = y + Dy
이때 우리는 덧셈을 사용한다. 그런데 이동을 ... 곱셈으로 표현할 수는 없을까?
다음 행렬을 고려해보자:
그리고 군의 작용은 다음과 같다:
행렬 곱셈 g × r이 아니라, 군의 작용이 된다는 점에 주목하자.
이와 동시에 3차원, 4차원, 그 이상의 차원에서의 이동도 고려해볼 수 있다:
해당 군의 작용은 다음과 같다:
...보조적으로, 이동 군은 교환 법칙을 만족하며, 항등원은 "영 이동"이다. 3차원에서는 군의 차원이 3이고, 4차원에서는 4이다.
행렬 군의 이점. 예: 유클리드 군.
...행렬 군의 장점은, 이전까지 본질적으로 다른 것으로 여겨졌던 여러 가지를 동시에 다룰 수 있다는 점이다. 예를 들어 회전과 이동을 동시에 다룰 수 있다. 이를 위해 다음과 같은 행렬을 고려하고, 군의 원소 행렬을 열 벡터에 작용시켜 보면, 이는 각도 a의 회전과 벡터 (Dx, Dy)에 따른 이동의 조합과 동일함을 알 수 있다.
...이처럼 행렬 g는 2차원 공간의 점 (x, y)에 직접 작용하지 않고, 특정한 '군의 작용'을 통해 작용한다. 이는 일정한 공리에 따라 이루어진다.
...따라서 군은 점들을 '작용'하고 '이동'시킨다. 이는 유클리드 군이다. 2차원 공간 (x, y)과 관련된 이 군은 세 개의 매개변수로 정의된다. 즉 g(a, Dx, Dy)이며, 이 군의 차원은 3이다. 특별한 경우를 살펴보면:
g(0, Dx, Dy)는 이동의 부분군을 나타낸다.
g(a, 0, 0)는 원점 중심의 회전의 부분군을 나타낸다.
g(0, Dx, 0)는 직선(OX축)에 평행한 이동의 부분군을 나타낸다.
...유클리드 군은 점들을 이동시키지만, 그 점 자체에는 별도의 속성이 없다. 반면, 역학의 군들은 단순한 '질점'에 질량, 에너지, 운동량, 스핀과 같은 '속성'을 부여한다.
...유클리드 군을 사용할 때는 점들의 집합을 고려해야 한다. 마치 화학에서 원자가 서로 구별되지 않고, 분자 구조의 기하학적 배열만이 정보를 전달하는 것과 같다. ...삼각형(세 점 또는 세 선분의 집합으로 간주), 사각형(네 점 또는 네 선분의 집합으로 간주)과 같은 기하학적 도형은 유클리드 군에 의해 이동될 수 있다. 여기서 핵심 개념인 종류(species)가 등장한다. 두 '물체'가 군의 원소를 통해 서로 위에 겹쳐질 수 있다면, 이 둘은 같은 종류라고 말한다.
유클리드 군에 대해 같은 변 길이 a를 가진 사각형들은 하나의 종류를 이룬다:
같은 종류의 사각형.
...만약 변 길이 a와 b가 다르다면, 이 물체들은 같은 종류가 아니다. 군의 원소로 하나를 다른 것으로 옮길 수 없다. 유클리드 군에 대해
이 사각형들은 같은 종류를 이루지 않는다.
유클리드 군은 확대-축소를 허용하지 않는다. 이를 다루기 위해서는 다른 군, 즉 데카르트 군으로 넘어가야 한다:
네 매개변수를 가진 군 g(λ, a, Dx, Dy), 여기서 λ는 확대-축소 계수이다. 따라서 이 군의 차원은 4이다.
이제 3차원 공간에서의 유클리드 군 작용을 생각하는 것은 어렵지 않다.
...군에 대한 완전한 강의를 하려는 것이 아니라, 몇 가지 개념을 직관적으로 느끼는 것이 목적이다. 동물학이란 무엇인가? 동물을 연구하고 분류하는 과학이다. 형태에만 초점을 맞춘다면, 유클리드 군은 성체 토끼들을 분류할 수 있다. 그러나 크기가 다른 토끼들을 같은 종류로 분류하려면 유클리드 군(3차원)의 원소로는 작은 토끼를 큰 토끼로 옮길 수 없으므로, 데카르트 군을 사용해야 한다.
...웃고 계신가요? 잘못 생각하고 계십니다. 아마도 집 안이나 아파트에서, 어린 아이가 놀이를 하며 무언가를 배우고 있을 것입니다. 그 아이는 전형적인 장난감을 주었고, 이제는 원통형, 정육면체, 삼각기둥 같은 모양들을 특정한 형태의 구멍이 있는 상자에 넣으려 애쓰고 있습니다.
...그 아이는 무엇을 하고 있는가? 3차원 유클리드 군을 익히고 있는 것이다. 그는 물체들을 종류별로 분류함으로써, 나중에 그들을 인식하고 '형태 인식'을 할 수 있게 된다.
...색깔이 다르더라도, 아이는 원통형 A와 원통형 B가 공간 3차원에서 군의 작용(이동)을 통해 서로 겹쳐질 수 있음을 확인한다. 이는 상자에 있는 '공 모양의 홈'을 통해 가능하다. 즉, 상자 안의 분류 칸으로 들어가는 입구를 통한 전환이다. 이렇게 아이는 원통형 A와 B가 유클리드 군의 기준(형태)에 따라 같은 종류에 속함을 배우게 된다.
