군과 물리학의 코어드וא인 작용 운동량
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...간단히 말해, 아이에게 제시된 시스템은 완벽하지 않다. 이 시스템은 게임 자체와 함께 제공된 물체들만 사용할 때 제대로 작동한다. "원통" 칸은 같은 반지름이지만 길이가 다른 원통을 넣을 수 있으며, 핀, 물티슈, 자물쇠 열쇠 등도 넣을 수 있다.
...논리적으로, 이 군에 대한 학습을 마친 아이는 자물쇠 열쇠와 원통이 같은 종류의 물체라는 것을 추론할 수 있다. 이는 그 물체들이 공통된 성질 "그 구멍에 들어간다"를 가졌기 때문이다.
...내 딸은 아주 어릴 때, 컴퓨터의 읽기 장치 입구를 입력 창으로, 체크 포인트로 삼아 군에 대한 매우 흥미로운 실험을 했다. 그녀의 논리를 재구성하기 위해, 장치를 완전히 분해하고 정지시킨 후에야 가능했다. 지금도 그녀는 군에 대해 여전히 큰 관심을 보이고 있다. 하지만 그 선택들은 나에게는 마음에 들지 않는다.
...지금 다시 우리 어린이로 돌아가자. 몇 달 후, 같은 아이를 갈릴레오 군에 익숙하게 만들기 위해, 물체를 던져서 잡게 하자. 이제 물체의 형태는 중요하지 않다. 중요한 것은 그들의 움직임이다. 우리는 다른 군으로 전환한다. 아기에게 있어, 충분히 작아서 잡을 수 있는 물체는 그 질량 중심으로 간주된다. 이는 '질량 점', '물질 점'이 된다. 갈릴레오 군은 '물질 점의 역학'을 다룬다.
이제는 움직임의 유형에 따라 분류된다.
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이건 내가 잡을 수 있어.
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이건 못 잡아.
...아기의 눈으로 초기 조건, 위치와 속도 벡터를 평가하여, 어떤 움직임 유형에 직면해 있는지 인식하고 예측해야 한다.
...성장한 후, 그는 테니스를 할지도 모른다. 그때도 갈릴레오 군이 계속 사용된다. 갈릴레오 군은 유클리드 군과 마찬가지로 정사각형 행렬이다. 테니스 공은 빛의 속도에 비해 훨씬 느리게 움직이므로, 그는 파인카레 군(또 다른 정사각형 행렬로, 물질 점의 '상대론적' 운동을 다루는 군)을 사용할 필요가 없다.
...그러나 갈릴레오 군이 다루는 물질 점은 더 이상 유클리드 군의 점이 아니다. 이 점들은 속성을 갖는다. 갈릴레오 군을 다루는 수학적 물리학 전문가는 물질 점을 말하지 않고, '운동'을 말한다. 그가 분류하려는 것은 운동이다. 이때 우리는 기본 입자 물리학의 핵심 문제에 직면한다. 우리는 입자에 대해 현상학적 설명을 찾는다:
네 운동 방식을 말해줘, 네가 무엇인지 내가 말해줄게.
...우리는 입자가 '무엇으로 구성되어 있는지'를 묻는 것이 아니라, '어떻게 행동하는지'를 묻는다. 예를 들어 중성 입자는 전하를 띤 입자와 다른 방식으로 행동한다. 서로 다른 종류에 속하며, 서로 다른 속성을 갖는다.
...지금까지의 아기가 고에너지 물리학자로 성장하여, 하루에도 여러 번 방울방울 실험실의 사진을 살펴볼지도 모른다.
방울방울 실험실 사진 (Schem..)
...왼쪽 사진: 양성자, 중성자, 전자가 실험실의 자기장 안을 통과했다. 실험실은 그림 평면에 수직인 자기장을 받고 있다. 전하를 띠지 않는 중성자는 영향을 받지 않고 직진한다. 전하를 띤 입자들은 각각 다른 회전 반경(라모르 반경)을 가진다. 가벼운 전자는 무거운 양성자보다 자기장에 수직인 방향에서 훨씬 더 빠르게 회전한다. 둘 다 반대 방향으로 회전한다.
자기장 내에서의 운동 집합을 다루는...
하지만 이 군은 아직 존재하지 않는다. 만약 당신이 이 군을 발견한다면, 많은 사람을 기쁘게 할 것이다.
...어쨌든, 우리 사람(연구자)은 사진을 분석하며 서로 다른 운동 집합에 속한 궤적을 발견한다.
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이건 직진해, 중성자야.
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이건 천천히 오른쪽으로 꺾여, 양성자야.
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이건 빠르게 왼쪽으로 꺾여, 전자야.
...오른쪽 사진: 전자와 반전자(양전자)가 같은 방사선에서 탄생했다(점선). 그들은 대칭적인 궤적을 가지며, 전하가 반대임을 보여준다.
종류별 행동 분류, 운동 집합으로서의 종.
운동량
...이 순수 기하학적 대상은 속성들의 집합으로 간주될 수 있다. 전하를 띤 입자들은 나중에 다시 다룰 것이다. '상대론적 물질 점'은 수학자 장-마리 수리오가 '파인카레 군에 관련된 고정 운동량'이라는 이름의 대상으로 묶은 속성들을 갖는다.
상대론적 물질 점의 속성은 다음과 같다:
- 에너지 E
- 운동량 p
- 회전 운동량 l (스핀과 관련됨)
- 이동성 f
따라서 '운동량'은 다음과 같이 표현된다:
J = { E, p, l, f }
간단한 주석:
...앞으로 이 글에서 스칼라 양은 얇은 글자로, 비스칼라 양(정사각형 행렬, 행렬-행, 행렬-열)은 굵은 글자로 표기하는 것이 일반적이다.
...정확히 말하면, 이 얇은 글자나 굵은 글자를 사용하여 행렬의 행-열 곱셈을 수행할 수 있어 매우 편리하다. 예를 들어, 2차 유클리드 군의 원소의 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다:
새로운 기호를 도입하여:
더 간결한 표현을 얻을 수 있다:
g 는 다음과 같은 행렬 형태로 나타난다. 이 행렬은 하위 행렬들로 구성된다:
- a 는 (2,2) 형식의 정사각형 행렬이다.
- c 는 이동 벡터(이동 벡터)로 (2,1) 형식의 열 벡터이다.
- 0 은 (1,2) 형식의 행 벡터이다:
일반적으로 굵은 0 은 행 벡터이든 열 벡터이든 상관없다.
그러면 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다:
여기서 a r 은 a × r 을 의미하지만, 결국 행렬 곱셈 기호는 생략하게 된다.
주석 끝. 운동량 주제로 돌아가자. 상대론적 물질 점의 운동량 표현으로 돌아가자.
J = { E, p, l, f }
E는 스칼라(에너지).
p 는 운동량 벡터.
l 과 f (굵은 글자)는 각각 (lx, ly, lz)와 (fx, fy, fz) 형태의 벡터이다. 즉, '회전 운동량'과 '이동성'.
...이 하위 사이트인 기하학적 물리학 B(Geometrical Physics B)에서 소개할 개인 연구를 통해, 더 풍부한 운동량의 구성 요소로서 기본 입자들의 다른 '속성'을 도출하는 것이 과제가 된다. (전하: 전기적, 바리온, 렙톤, 타온, 그리고 자화비율)
...1970년대, 수학자 장-마리 수리오는 파인카레 군이 다루는 물질 점의 운동량 구성 요소를 도출하는 방법을 개발했다. 참고서: 구조적 동역학 시스템. 두노드, 1973년.
강력 추천: 아스피린.
...이제까지의 수학적 도구를 사용하지 않고는 더 깊이 들어가기 어렵다. 나중에, 만약 관심 있는 사람이 있다면, 이 사이트에서 '그룹에 대해 항상 알고 싶었지만, 결코 묻지 못했던 모든 것'이라는 스타일로 다뤄볼 수 있을 것이다.
